Question

Дано квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 , где a,b,c натуральные числа не превосходящие 100. Также известно что числа а,b,c попарно отличаются друг от друга не менее чем на 2. Может ли такое уравнение иметь корень -7?

Answer 1

Да, могут. Попробуйте рассмотреть такое решение (можно его улучшить, если есть в чём):
1. Надо, чтобы оба корня такого уравнения были отрицательными. Тогда 'с' будет положительным, соответственно, положительным будет и 'b'.
2. Чтобы подобрать такие числа, можно представить, что (-7)*х>-7+х (если b<c), тогда х<7/8. Например, число ( -2) даёт уравнение вида x²+9x+14=0, а число (-3) такое: x²+10x+21=0

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело корень -7, необходимо и достаточно, чтобы при подставлении x = -7 в уравнение получилось равенство 0.

Подставим x = -7 в уравнение ax^2 + bx + c = 0:

a(-7)^2 + b(-7) + c = 0

49a - 7b + c = 0

Так как a, b, c попарно отличаются друг от друга не менее чем на 2, то возможны следующие варианты:

1) a = b + 2, c = b + 4 2) a = b - 2, c = b - 4 3) a = c + 2, b = c - 2 4) a = c - 2, b = c + 2 5) b = a + 2, c = a - 2 6) b = a - 2, c = a + 2

Подставим эти значения в уравнение 49a - 7b + c = 0:

1) 49(b + 2) - 7b + (b + 4) = 0 2) 49(b - 2) - 7b + (b - 4) = 0 3) 49(c + 2) - 7(c - 2) + c = 0 4) 49(c - 2) - 7(c + 2) + c = 0 5) 49(a + 2) - 7(a - 2) + (a - 2) = 0 6) 49(a - 2) - 7(a + 2) + (a + 2) = 0

Решим каждое из этих уравнений:

1) 49b + 98 - 7b + b + 4 = 0 43b + 102 = 0 43b = -102 b = -102 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

2) 49b - 98 - 7b + b - 4 = 0 43b - 102 = 0 43b = 102 b = 102 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

3) 49c + 98 - 7c + c + 2 = 0 43c + 100 = 0 43c = -100 c = -100 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

4) 49c - 98 - 7c + c - 2 = 0 43c - 100 = 0 43c = 100 c = 100 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

5) 49a + 98 - 7a + a - 2 = 0 43a + 96 = 0 43a = -96 a = -96 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

6) 49a - 98 - 7a + a + 2 = 0 43a - 96 = 0 43a = 96 a = 96 / 43 (не является натуральным числом, не подходит)

Таким образом, ни одно из возможных значений a, b, c не удовлетворяет условию уравнения при x = -7. Следовательно, данное уравнение не может иметь корень -7.