Question

9^(x-0.5)-8*3^(x-1)+5=0 Найти корни уравнения

Answer 1

3^(2x) * 3^(-1) - 8 * 3^x * 3^(-1) = 0
Пусть 3^x = t, при t > 0
(t^2)/3 - (8*t)/3 + 5 = 0       | *3
t^2 - 8*t + 15 = 0
t=5, t=3
при t=5:
3^x = 5
log3(3^x) = log3(5)
x = log3(5)
при t=3:
3^x = 3
x = 1
Ответ: 1; log3(5).

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(9^{(x-0.5)} - 8 \cdot 3^{(x-1)} + 5 = 0\), давайте попробуем преобразовать его.

Обозначим \(3^{(x-1)}\) как \(y\), тогда уравнение примет следующий вид:

\[9^{(x-0.5)} - 8y + 5 = 0\]

Теперь выразим \(9^{(x-0.5)}\) через \(y\). Заметим, что \(9 = 3^2\), поэтому:

\[9^{(x-0.5)} = (3^2)^{(x-0.5)} = 3^{2(x-0.5)} = 3^{2x-1}\]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[3^{2x-1} - 8y + 5 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение относительно \(x\) и \(y\):

\[3^{2x-1} - 8y + 5 = 0\]

Далее мы можем решить это уравнение относительно \(y\):

\[8y = 3^{2x-1} + 5\]

\[y = \frac{3^{2x-1} + 5}{8}\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение \(3^{(x-1)} = y\) и решить относительно \(x\):

\[3^{(x-1)} = \frac{3^{2x-1} + 5}{8}\]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (\(x\)), которое можно решить численно или аналитически, в зависимости от ваших предпочтений. Метод численного решения, такой как метод Ньютона или метод бисекции, может потребоваться для получения численного значения \(x\). Если вы предпочитаете аналитический метод, давайте займемся этим:

Умножим обе стороны уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

\[8 \cdot 3^{(x-1)} = 3^{2x-1} + 5\]

Теперь мы можем привести подобные и собрать все слагаемые с \(3^{(x-1)}\) в одну часть уравнения:

\[8 \cdot 3^{(x-1)} - 3^{2x-1} = 5\]

Теперь давайте заметим, что \(3^{(x-1)}\) можно выразить через \(3^{2x-1}\):

\[8 \cdot 3^{(x-1)} - 3^{2x-1} = 8 \cdot 3^{(x-1)} - \frac{1}{3} \cdot 3^{(x-1)}\]

Теперь мы можем привести подобные:

\[\frac{23}{3} \cdot 3^{(x-1)} - 3^{2x-1} = 5\]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной, и мы можем решить его как обычное квадратное уравнение. После нахождения корней \(x\), мы можем использовать исходное уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями этого уравнения.