Question

Докажите что если сумма (x²+y²) делиться на 3 и x,y-целое,то x и y делиться на 3

Answer 1

Пепипприггопоуф5#4!%6:++/

Answer 2

Для доказательства утверждения, что если сумма x² + y² делится на 3 и x, y являются целыми числами, то x и y также делятся на 3, мы можем воспользоваться свойствами деления и модулярной арифметики.

Доказательство:

Предположим, что сумма x² + y² делится на 3 при условии, что x и y являются целыми числами.

По свойству деления, если число a делится на число b, то существует целое число k, такое что a = b * k.

Мы можем применить это свойство к нашему утверждению и сказать, что x² + y² = 3 * k, где k - целое число.

Для дальнейшего рассмотрения, нам необходимо рассмотреть все возможные остатки при делении числа на 3. Возможные остатки могут быть 0, 1 или 2.

Рассмотрим возможные случаи:

1. x ≡ 0 (mod 3) и y ≡ 0 (mod 3) Если x и y делятся на 3 без остатка, то x и y также делятся на 3.

2. x ≡ 1 (mod 3) и y ≡ 2 (mod 3) Предположим, что x и y такие, что x ≡ 1 (mod 3) и y ≡ 2 (mod 3). Тогда x² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3) и y² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3). Таким образом, x² + y² ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3). Здесь сумма x² + y² не делится на 3, что противоречит нашему предположению.

3. x ≡ 2 (mod 3) и y ≡ 1 (mod 3) Аналогично предыдущему случаю, x² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3) и y² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3). Снова получаем x² + y² ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3), что противоречит нашему предположению.

Из рассмотренных случаев 2 и 3 следует, что если x² + y² делится на 3, то x и y не могут иметь остатки 1 и 2 при делении на 3 одновременно.

Вывод:

Из рассмотренных возможных случаев следует, что если сумма x² + y² делится на 3 и x, y являются целыми числами, то x и y также делятся на 3.