Question

Знайти повний диференціал заданої функції z=arctg(x^2+y^2)

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Щоб знайти повний диференціал функції z = arctg(x^2 + y^2), спочатку визначимо часткові похідні функції по змінним x та y, а потім знайдемо диференціал, використовуючи ці похідні.

Визначення часткових похідних

Спочатку знайдемо часткову похідну функції z за змінною x. Для цього треба взяти похідну функції z за x, тримаючи y постійним. Враховуючи, що arctg(x) має похідну 1/(1+x^2), отримуємо:

∂z/∂x = ∂(arctg(x^2 + y^2))/∂x = 1/(1+(x^2 + y^2))^2 * ∂(x^2 + y^2)/∂x = 1/(1+(x^2 + y^2))^2 * 2x

Тепер знайдемо часткову похідну функції z за змінною y. Для цього треба взяти похідну функції z за y, тримаючи x постійним. Враховуючи, що arctg(x) має похідну 1/(1+x^2), отримуємо:

∂z/∂y = ∂(arctg(x^2 + y^2))/∂y = 1/(1+(x^2 + y^2))^2 * ∂(x^2 + y^2)/∂y = 1/(1+(x^2 + y^2))^2 * 2y

Знаходження повного диференціалу

Повний диференціал функції z можна знайти, використовуючи часткові похідні, за формулою:

dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy

Підставляючи значення часткових похідних, отримуємо:

dz = (1/(1+(x^2 + y^2))^2 * 2x) * dx + (1/(1+(x^2 + y^2))^2 * 2y) * dy

Отже, повний диференціал функції z = arctg(x^2 + y^2) дорівнює:

dz = (2x/(1+(x^2 + y^2))^2) * dx + (2y/(1+(x^2 + y^2))^2) * dy

Це є повний диференціал заданої функції.