Question

На доске написано 1000 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные). Назовем число хорошим, если сумма остальных 999 чисел (кроме него) является квадратом целого числа. Какое наибольшее количество хороших чисел может быть среди 1000 чисел на доске?

Answer 1

Рассмотрите такое решение, при альтернативе воспользуйтесь лучшим:
1) подряд любых 1000 чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью 1;
2) с другой стороны, согласно свойствам квадратичной функции (если брать у части таковой интервалы по 1000), наибольшая плотность квадратов сосредоточена в области начала координат, то есть О(0;0), также квадрат всякого целого числа кроме 0 есть число натуральное.
3) учитывая пп.№1 и 2 делаем вывод, что прогрессия должна в сумме давать число, не превышающее 1000, которая без наибольшего по модулю члена даёт результат, близкий к 0, а без наименьшего - близкий к 1000. Также как можно больше результатов должны быть натуральными числами.
4) требованию пп.№3 удовлетворяют две прогресси: а) -500, -499, -498,...,498, 499 и б) -499, -498, -497,..., 498, 499, 500.
первый числовой ряд в сумме даёт (-500), без числа 499 даёт (-999), а без числа (-500) - 0. "Хороших" чисел в диапазоне [-999;0] одно. Это 0.
второй ряд в сумме даёт 500, без числа 500 даёт 0, без числа (-499) - 999. "Хороших" чисел в диапазоне [0;999] 32 (это числа от 0² до 31²).
Остальные ряды дают гораздо меньшее количество таких чисел, ибо согласно пп.№2 далеко отстоят от О(0;0).
Ответ: 32.

Answer 2

Давайте рассмотрим условия задачи более подробно. У нас есть 1000 последовательных целых чисел, и мы хотим определить, какое наибольшее количество "хороших" чисел может быть среди них. Число считается хорошим, если сумма оставшихся 999 чисел (исключая это число) является квадратом целого числа.

Обозначим целое число на доске как \(x\). Тогда сумма оставшихся 999 чисел - это \(1 + 2 + 3 + \ldots + (x-1) + (x+1) + (x+2) + \ldots + 1000\). Эту сумму можно упростить:

\[ S = \frac{1000 \cdot 1001}{2} - x \]

Теперь условие задачи гласит, что \(S\) должно быть квадратом целого числа. Представим \(S\) в виде полного квадрата:

\[ S = k^2 \]

Теперь подставим выражение для \(S\):

\[ \frac{1000 \cdot 1001}{2} - x = k^2 \]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[ x = \frac{1000 \cdot 1001}{2} - k^2 \]

Таким образом, мы получили выражение для хорошего числа \(x\) в зависимости от значения \(k\). Нам нужно найти наибольшее количество хороших чисел, и чтобы это было возможно, \(k\) должно быть максимальным.

Максимальное значение \(k\) достигается, когда \(k^2\) близко к \(\frac{1000 \cdot 1001}{2}\). Однако \(k^2\) не может быть больше, чем \(\frac{1000 \cdot 1001}{2}\). Поэтому максимальное значение \(k\) будет \(\lfloor\sqrt{\frac{1000 \cdot 1001}{2}}\rfloor\).

Теперь подставим это значение \(k\) обратно в наше выражение для \(x\):

\[ x = \frac{1000 \cdot 1001}{2} - \left(\lfloor\sqrt{\frac{1000 \cdot 1001}{2}}\rfloor\right)^2 \]

Таким образом, мы можем найти максимальное количество хороших чисел среди 1000 на доске, используя максимальное значение \(k\). Я предлагаю вычислить это численно.