Question

Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2;8), В (-1;5), С (3;1)

Answer 1

Найдем длину сторон треугольника: ab=√9+9=3√2 bc=√16+16=4√2 ac=√1+49=5√2

Найдем косинусы углов треугольника при помощи теоремы косинусов:

18=32+50-80*cosa cosa=(82-18)/80=8/10=0.8 32=18+50-60*cosb cosb=

(68-32)/60=6/10=0.6 50=18+32-12*4cosc cosc=0

Answer 2

Для нахождения косинусов углов треугольника с вершинами A(2;8), B(-1;5) и C(3;1), мы можем использовать формулы для расчета косинуса угла между векторами.

Нахождение векторов

Для начала, найдем векторы AB, AC и BC. Вектор AB можно получить, вычислив разницу координат вершин A и B:

AB = (2 - (-1), 8 - 5) = (3, 3)

Вектор AC можно получить, вычислив разницу координат вершин A и C:

AC = (3 - 2, 1 - 8) = (1, -7)

Вектор BC можно получить, вычислив разницу координат вершин B и C:

BC = (3 - (-1), 1 - 5) = (4, -4)

Нахождение длин векторов

Для дальнейших расчетов нам понадобятся длины векторов AB, AC и BC. Длина вектора (x, y) может быть найдена с использованием формулы:

|v| = √(x^2 + y^2)

Длина вектора AB:

|AB| = √(3^2 + 3^2) = √18 = 3√2

Длина вектора AC:

|AC| = √(1^2 + (-7)^2) = √50 = 5√2

Длина вектора BC:

|BC| = √(4^2 + (-4)^2) = √32 = 4√2

Нахождение косинусов углов

Теперь мы можем использовать формулы для расчета косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) cos(α) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|) cos(β) = (AC · BC) / (|AC| * |BC|)

где · обозначает скалярное произведение векторов (dot product).

AB · AC = (3 * 1) + (3 * -7) = 3 - 21 = -18 AB · BC = (3 * 4) + (3 * -4) = 12 - 12 = 0 AC · BC = (1 * 4) + (-7 * -4) = 4 + 28 = 32

Подставим значения в формулы:

cos(θ) = (-18) / (3√2 * 5√2) = -18 / (3 * 5 * 2) = -18 / 30 = -3 / 5 cos(α) = 0 / (3√2 * 4√2) = 0 / (3 * 4 * 2) = 0 / 24 = 0 cos(β) = 32 / (5√2 * 4√2) = 32 / (5 * 4 * 2) = 32 / 40 = 4 / 5

Таким образом, косинусы углов треугольника с вершинами A(2;8), B(-1;5) и C(3;1) равны: cos(θ) = -3 / 5 cos(α) = 0 cos(β) = 4 / 5