Question

Помогите, пожалуйста!!Даны координаты вершин треугольника. A(2;-1), B(3;0), C(-1;4). 1) составить уравнение сторон2) уравнение высот3) уравнение прямых, проходящих через вершину параллельных сторон4) уравнение медиан

Answer 1

Уравнение Сторон АВ = ( (x-2)/1= (y+1)/1 => y=x-3 ) BC = ( у=3-x ) AC = ( (x-2)/-3 = (y+1)/5 => у=(-5х+7)/3
Уравнение высот
Уравнение высоты через вершину B
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:


y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение AC: y = -5/3x + 7/3, т.е. k1 = -5/3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
-5/3k = -1, откуда k = 3/5
Так как перпендикуляр проходит через точку B(3,0) и имеет k = 3/5,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 3, k = 3/5, y0 = 0 получим:
y-0 = 3/5(x-3)
или
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AC:
Имеем систему из двух уравнений:
3y + 5x - 7 = 0
5y -3x +9 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 31/17
y = -12/17
D(31/17;-12/17)

Уравнение Медиан
Для Стороны ВС:
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0

Для стороны АВ:
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(5/2;-1/2)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-1;4) и М(5/2;-1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -9/7x + 19/7 или 7y + 9x - 19 = 0

Для стороны АС
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(1/2;3/2)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(3;0) и М(1/2;3/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -3/5x + 9/5 или 5y + 3x - 9 = 0


Длс СТороны ВС
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0

Answer 2

Уравнение сторон треугольника

Для составления уравнений сторон треугольника, мы будем использовать точки, через которые проходят эти стороны.

Уравнение стороны AB: AB проходит через точки A(2,-1) и B(3,0).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, мы можем использовать формулу наклона-пересечения (slope-intercept form) уравнения прямой: y = mx + b, где m - наклон, b - точка пересечения с осью y.

Наклон (m) можно найти, используя формулу:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Для точек A(2,-1) и B(3,0):

m = (0 - (-1)) / (3 - 2) = 1

Теперь, чтобы найти точку пересечения с осью y (b), мы можем использовать одну из точек A(2,-1):

y = mx + b -1 = 1 * 2 + b -1 = 2 + b b = -3

Таким образом, уравнение стороны AB будет:

y = x - 3

Уравнения остальных сторон BC и AC могут быть найдены аналогичным образом, используя соответствующие точки.

Уравнение стороны BC: BC проходит через точки B(3,0) и C(-1,4).

m = (4 - 0) / (-1 - 3) = -1

Используя точку B(3,0):

y = mx + b 0 = -1 * 3 + b 0 = -3 + b b = 3

Уравнение стороны BC будет:

y = -x + 3

Уравнение стороны AC: AC проходит через точки A(2,-1) и C(-1,4).

m = (4 - (-1)) / (-1 - 2) = 5/3

Используя точку A(2,-1):

y = mx + b -1 = (5/3) * 2 + b -1 = 10/3 + b b = -13/3

Уравнение стороны AC будет:

y = (5/3)x - 13/3

Уравнение высоты треугольника

Чтобы найти уравнение высоты треугольника, мы будем использовать точки, через которые она проходит, а также уравнения сторон треугольника.

Давайте назовем высоту треугольника, проведенную из вершины A, H.

Высота H перпендикулярна стороне BC и проходит через вершину A(2,-1).

Перпендикулярные прямые имеют противоположные взаимные наклоны. Таким образом, наклон прямой H будет обратным и противоположным наклону прямой BC.

Наклон прямой BC: -1 Наклон прямой H: 1

Также, прямая H проходит через точку A(2,-1). Используя уравнение прямой в форме наклона-пересечения, мы можем найти точку пересечения с осью y (b).

y = mx + b -1 = 1 * 2 + b -1 = 2 + b b = -3

Таким образом, уравнение высоты H будет:

y = x - 3

Уравнение прямых, проходящих через вершину и параллельных сторонам

Прямые, проходящие через вершину треугольника и параллельные сторонам, имеют тот же наклон, что и соответствующая сторона.

Наклон стороны AB: 1 Наклон стороны BC: -1 Наклон стороны AC: 5/3

Таким образом, уравнения прямых, проходящих через вершину и параллельные сторонам, будут:

Прямая, параллельная стороне AB, проходящая через вершину A(2,-1):

y = x - 3

Прямая, параллельная стороне BC, проходящая через вершину B(3,0):

y = -x + 3

Прямая, параллельная стороне AC, проходящая через вершину A(2,-1):

y = (5/3)x - 13/3

Уравнение медианы треугольника

Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для нахождения уравнения медианы треугольника, мы будем использовать точки, через которые проходят стороны и медиана.

Медиана, проходящая через вершину A(2,-1), делит сторону BC пополам. Таким образом, точка пересечения медианы с стороной BC будет являться серединой стороны BC.

Для нахождения середины стороны BC, мы можем использовать формулу:

x_mid = (x1 + x2) / 2 y_mid = (y1 + y2) / 2

Для точек B(3,0) и C(-1,4):

x_mid = (3 + (-1)) / 2 = 1 y_mid = (0 + 4) / 2 = 2

Таким образом, середина стороны BC будет иметь координаты (1,2).

Теперь, чтобы найти уравнение медианы, мы можем использовать формулу наклона-пересечения (slope-intercept form) уравнения прямой, используя точку A(2,-1) и середину стороны BC (1,2).

Наклон медианы можно найти, используя формулу:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

m = (2 - (-1)) / (1 - 2) = 3

Используя точку A(2,-1):

y = mx + b -1 = 3 * 2 + b -1 = 6 + b b = -7

Таким образом, уравнение медианы будет:

y = 3x - 7