Question

При каком значении а касательная к параболе y=ax^2+x-3 в точке М(1;a-2) параллельна прямой 3y=6x+1?

Answer 1

Находим производную заданной функции.
y' = 2ax+1.
Производная равна коэффициенту к при х в уравнении касательной в заданной точке. По заданию касательная к параболе y=ax^2+x-3 в точке М(1;a-2) параллельна прямой  у = 2х + (1/3), где к= 2.
Поэтому 2а*1 + 1 = 2. Отсюда а = (2-1)/2 = 1/2.

Answer 2

Постановка задачи

В данной задаче нам дана парабола в виде уравнения y = ax^2 + x - 3 и прямая в виде уравнения 3y = 6x + 1. Нам нужно найти значение параметра a, при котором касательная к параболе в точке М(1,a-2) будет параллельна данной прямой.

Решение

Чтобы найти значение параметра a, при котором касательная к параболе параллельна данной прямой, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем производную функции y = ax^2 + x - 3. Производная покажет нам наклон касательной к параболе в каждой точке. 2. Подставим значение x = 1 в полученную производную и найдем соответствующее значение производной в точке М(1,a-2). 3. Сравним полученное значение производной с наклоном прямой 3y = 6x + 1. Если они равны, то касательная к параболе параллельна данной прямой.

Нахождение производной

Для нахождения производной функции y = ax^2 + x - 3, возьмем производную от каждого члена по отдельности. Получим:

y' = 2ax + 1

Подстановка значения x = 1

Подставим значение x = 1 в полученную производную:

y'(1) = 2a(1) + 1 = 2a + 1

Сравнение с наклоном прямой

Теперь сравним полученное значение производной y'(1) с наклоном прямой 3y = 6x + 1. Наклон прямой можно найти, разделив коэффициенты при x и y на 3:

Наклон прямой: m = (6/3) = 2

Если значение производной y'(1) равно наклону прямой, то касательная к параболе параллельна данной прямой. То есть:

2a + 1 = 2

Нахождение значения параметра a

Решим полученное уравнение относительно параметра a:

2a + 1 = 2

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

2a = 1

Разделим обе части уравнения на 2:

a = 1/2

Ответ

Таким образом, при значении параметра a = 1/2 касательная к параболе y = ax^2 + x - 3 в точке М(1,a-2) будет параллельна прямой 3y = 6x + 1.

Ответ: a = 1/2.