Question

Рассчитать размеры цилиндрического бака для водонапорной башни при условии, состоящем в том, чтобы при заданной полной поверхности S его объём был наибольшим

Answer 1

Из всех геометрических тел с заданной площадью поверхности максимальный объем будет у шара...))
Поскольку задан цилиндр, то, в этом случае, максимальный объем будет у цилиндра с квадратным вертикальным сечением, т.е. R = H/2
Докажем это:
Площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
           S = 2πR² + 2πRH  -  Выразим из этой формулы H:
           2πRH = S - 2πR²
           H = (S-2πR²)/2πR

Подставим полученное выражение в формулу вычисления объёма цилиндра:  
                 V = πR²H = πR²(S-2πR²)/2πR = SR/2 - πR³

Найдём максимум этой функции одной переменной. Для этого вычислим производную и приравняем к нулю:
                 V′ = (SR/2 - πR³)′ = S/2 - 3πR²
                 S/2 - 3πR² = 0 
                 R² = S/6π
                 R = √(S/6π)
                 R = -√(S/6π)

Отметим эти значения на координатной прямой и определим знак производной на трёх полученных числовых интервалах: (см. рис.)

Известно, что в точке максимума производная меняет знак с плюса на минус. Соответственно,  максимальный объём цилиндра можно получить, если радиус основания цилиндра будет равен:
                R = √(S/6π)

Максимальный объём цилиндра:
               V = SR/2 - πR³ = R(S/2 - πR²) = √(S/6π) *(S/2 - S/6) =
                  = √(S/6π) * S/3 

Найдем высоту цилиндра:
               S = 2πR(R+H)  =>  H = S/2πR - R = S/2π(√(S/6π)) - √(S/6π) =
                                               = √(6πS)/3π
Так как:    R = √(S/6π) = √(6πS)/6π, то R = H/2

Answer 2

Расчет размеров цилиндрического бака для водонапорной башни

Для расчета размеров цилиндрического бака для водонапорной башни с наибольшим объемом при заданной полной поверхности S, необходимо учесть следующие факторы:

1. Формула для объема цилиндра: - Объем цилиндра (V) можно рассчитать по формуле: V = π * r^2 * h, где π - число Пи (приближенно равно 3.14159), r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

2. Связь между полной поверхностью и размерами цилиндра: - Полная поверхность цилиндра (S) можно рассчитать по формуле: S = 2 * π * r * (r + h), где π - число Пи (приближенно равно 3.14159), r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

3. Задача оптимизации: - Задача состоит в том, чтобы при заданной полной поверхности S найти такие значения радиуса r и высоты h, при которых объем цилиндра будет наибольшим.

4. Решение задачи оптимизации: - Для решения задачи оптимизации можно использовать методы математического анализа, такие как нахождение экстремумов функции. В данном случае, необходимо найти максимум функции объема цилиндра V при заданной полной поверхности S.

Примечание: Для более точного расчета и получения конкретных числовых значений, необходимо знать значение полной поверхности S.

Пример расчета размеров цилиндрического бака

Допустим, у нас задана полная поверхность S. Для примера, возьмем S = 1000 квадратных метров.

1. Найдем радиус основания цилиндра (r): - Используя формулу для полной поверхности цилиндра, подставим известные значения: S = 2 * π * r * (r + h). - Решим полученное уравнение относительно r.

2. Найдем высоту цилиндра (h): - Используя найденное значение радиуса r, подставим его в формулу для полной поверхности цилиндра: S = 2 * π * r * (r + h). - Решим полученное уравнение относительно h.

3. Найдем объем цилиндра (V): - Используя найденные значения радиуса r и высоты h, подставим их в формулу для объема цилиндра: V = π * r^2 * h.

4. Проверим, что полученные значения радиуса r и высоты h удовлетворяют условию наибольшего объема: - Сравним полученный объем цилиндра V с другими возможными значениями радиуса и высоты, чтобы убедиться, что он является наибольшим.

Примерный алгоритм расчета размеров цилиндрического бака

1. Задать значение полной поверхности S. 2. Найти радиус основания цилиндра (r) из уравнения S = 2 * π * r * (r + h). 3. Найти высоту цилиндра (h) из уравнения S = 2 * π * r * (r + h). 4. Найти объем цилиндра (V) из формулы V = π * r^2 * h. 5. Проверить, что полученные значения радиуса r и высоты h удовлетворяют условию наибольшего объема. 6. Вывести результаты расчета: значения радиуса r, высоты h и объема цилиндра V.

Примечание: Для более точного расчета и получения конкретных числовых значений, необходимо знать значение полной поверхности S.

Пожалуйста, уточните значение полной поверхности S, чтобы я мог выполнить расчеты и предоставить конкретные числовые значения для размеров цилиндрического бака.