Question

Для функции f(x)=cosx + sinx + 1/sin²x найдите первообразную, график которой проходит через точку ( π/4;4)

Answer 1

F(x)=sinx-cosx-ctgx+C
4=√2/2-√2/2-1+C
C=5
F(x)=sinx-cosx-ctgx+5

Answer 2

Для функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x) мы ищем первообразную, график которой проходит через точку (π/4, 4).

Первообразная функции f(x)

Чтобы найти первообразную функции f(x), мы должны интегрировать каждый из ее слагаемых по отдельности. Давайте рассмотрим каждое слагаемое по очереди:

1. Интегрирование cos(x): Интеграл от cos(x) равен sin(x) + C₁, где C₁ - произвольная постоянная.

2. Интегрирование sin(x): Интеграл от sin(x) равен -cos(x) + C₂, где C₂ - произвольная постоянная.

3. Интегрирование 1/sin²(x): Для интегрирования этого слагаемого мы можем использовать замену переменной. Пусть t = cos(x), тогда dt = -sin(x)dx. Заменяя в исходном интеграле, получаем: ∫(1/sin²(x))dx = ∫(1/(1 - t²)) * (-1/sqrt(1 - t²))dt = -∫(1/(1 - t²)) * (1/sqrt(1 - t²))dt = -∫dt = -t + C₃, где C₃ - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти первообразную функции f(x), мы суммируем интегралы каждого слагаемого: F(x) = sin(x) + (-cos(x)) + (-t) + C = sin(x) - cos(x) - cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

График первообразной функции

Чтобы найти график первообразной функции, мы можем использовать заданную точку (π/4, 4). Подставим x = π/4 в уравнение первообразной функции и найдем соответствующее значение y: F(π/4) = sin(π/4) - cos(π/4) - cos(π/4) + C = 1/√2 - 1/√2 - 1/√2 + C = -1/√2 + C.

Так как график первообразной функции проходит через точку (π/4, 4), то значение y должно быть равно 4: -1/√2 + C = 4.

Решая это уравнение относительно C, мы можем найти конкретное значение постоянной C.

Решение: -1/√2 + C = 4, C = 4 + 1/√2.

Таким образом, первообразная функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x), график которой проходит через точку (π/4, 4), имеет вид: F(x) = sin(x) - cos(x) - cos(x) + (4 + 1/√2).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.