Question

Первые три числа PC составляют убывающую арифметическую прогрессию. найдите эти числа, если известно, что их сумма равна 15 и при увеличении первого числа на 1, второго - на 1, и третьего на 4, они составляют геометрическую прогрессию

Answer 1

Пусть первое число х, второе будет х + d, третье х + 2d. Тогда, 3х + 3d = 15. х + d = 5 (второе число арифметической прогрессии). Выполнив увеличение первого числа на 1, второго - на 1, и третьего на 4, получим геометрическую прогрессию: х +1; 6; х +2d +4 или  5 - d +1; 6; 5+d +4 или 6 - d; 6; 9 + d. Составим уравнение:$\frac{6}{6-d}=\frac{9+d}{6}\\54-9d+6d-d^{2}=36\\d^{2}+3d-18=0\\d_{1}=-6;d_{2}=3$  

Нашли d = -6 (так как прогрессия убывающая).

Следовательно искомое первое число 5 - d = 5 - (-6) = 11; второе число 5; третье число 5 + d = 5 - 6 = -1.

Ответ: искомые числа 11; 5; -1.

 

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти первые три числа, которые составляют убывающую арифметическую прогрессию и при этом их сумма равна 15. Кроме того, при увеличении первого числа на 1, второго на 1 и третьего на 4, они должны составлять геометрическую прогрессию.

Первые три числа в убывающей арифметической прогрессии

Предположим, что первое число - это \( a \), второе число - \( a - d \) и третье число - \( a - 2d \), где \( d \) - разность арифметической прогрессии.

Составление уравнения для суммы

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна: \[ S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \] где \( n \) - количество членов, \( a \) - первый член, \( d \) - разность.

Известно, что сумма равна 15, а количество членов \( n = 3 \), поэтому: \[ 15 = \frac{3}{2}(2a + 2d) \] \[ 10 = 2a + 2d \] \[ 5 = a + d \]

Условие для геометрической прогрессии

При увеличении первого числа на 1, второго на 1 и третьего на 4, они должны составлять геометрическую прогрессию. Это означает, что отношение второго к первому и третьего к второму должно быть постоянным.

Решение

Мы имеем систему уравнений: \[ 5 = a + d \] \[ \frac{a+1}{a} = \frac{a-1}{a+1} = \frac{a+3}{a-1} \]

Решив эту систему уравнений, мы можем найти значения \( a \) и \( d \) и, следовательно, первые три числа прогрессии.

Давайте решим эту систему уравнений.