Question

Найти √2+√2+√2+√2+√2+√2+...

Answer 1

Пусть исходное выражение равно x_n (взяли n двоек), возведем его в квадрат:

x_n^2=2+√(2+√(2+...))=2 + x_(n-1). Очевидно, что при n→∞, x_n≈x_n-1, тогда, обозначив x_n = x:

x^2-x-2=0 - квадратное ур-ие, корни которого: x=-1;2. Так как корень-положительное число, то -1 мы отбрасываем, таким образом:

x=2 

Answer 2

Поиск корня квадратного из √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ...

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом предположения и затем математической индукции.

1. Предположение: Пусть S = √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ...

2. Шаг математической индукции: Умножим S на √2: S * √2 = (√2 + √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ...) * √2 S * √2 = √(2*2) + √(2*2) + √(2*2) + √(2*2) + √(2*2) + √(2*2) + ... S * √2 = 2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + ...

3. Вычитание из уравнения: Вычтем S из уравнения S * √2 = 2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + ...: S * √2 - S = 2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2 + ... - (√2 + √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ...) S * (√2 - 1) = 2 S = 2 / (√2 - 1)

Итак, корень квадратный из S равен 2 / (√2 - 1). Для более точного ответа можно упростить этот результат, умножив числитель и знаменатель на (√2 + 1):

S = 2 / (√2 - 1) * (√2 + 1) / (√2 + 1) S = 2 * (√2 + 1) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) S = 2 * (√2 + 1) / (2) S = √2 + 1

Таким образом, корень квадратный из √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + √2 + ... равен √2 + 1.