Question

Даны вершины треугольника abc A(0,1,-1);B(3,1,0) C(1,-1,2) найдите косинус угла ABC

Answer 1

A(0,1,-1)
B(3,1,0)
C(1,-1,2) 
Найдем длины сторон треугольника АВС:
AB=√(3-0)²+(1-1)²+0-(-1)²)=√(9+1)=√10
AC=√((1-0)²+(-1-1)²+(2-(-1))²)=√(1+4+9)=√14
BC=√(1-3)²+(-1-1)²+(2-0)²=√(4+4+4=√12
По т.косинусов:
АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВСcos<B
cos<B= (АВ²+ВС²-AC²)/2АВ·ВС
cos<B=(10+12-14)/2√10·√12=8/2√120=8/2·4√7,5=1/√7,5

Answer 2

Для нахождения косинуса угла ABC в треугольнике ABC с вершинами A(0,1,-1), B(3,1,0) и C(1,-1,2), мы можем использовать формулу косинусов. Формула косинусов гласит:

cos(ABC) = (AB · BC) / (|AB| · |BC|)

Где AB обозначает вектор, соединяющий вершины A и B, BC обозначает вектор, соединяющий вершины B и C, |AB| обозначает длину вектора AB, а |BC| обозначает длину вектора BC. Здесь · обозначает скалярное произведение векторов.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала найти векторы AB и BC, а затем вычислить их длины.

Вычисление векторов AB и BC

AB = B - A = (3, 1, 0) - (0, 1, -1) = (3, 0, 1) BC = C - B = (1, -1, 2) - (3, 1, 0) = (-2, -2, 2)

Вычисление длин векторов AB и BC

|AB| = √(AB · AB) = √(3² + 0² + 1²) = √(10) = √10 |BC| = √(BC · BC) = √((-2)² + (-2)² + 2²) = √(8) = 2√2

Вычисление косинуса угла ABC

cos(ABC) = (AB · BC) / (|AB| · |BC|) = ((3, 0, 1) · (-2, -2, 2)) / (√10 · 2√2) = (3 * -2 + 0 * -2 + 1 * 2) / (√10 * 2√2) = (-6 + 0 + 2) / (2√10) = -4 / (2√10) = -2 / √10 = -(2√10) / 10

Таким образом, косинус угла ABC в треугольнике ABC равен -(2√10) / 10.