Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при основании пирамиды равен 60 градусов. найдите объем пирамиды

Answer 1

Обьем пирамиды равен 128

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема правильной треугольной пирамиды, которая зависит от площади основания и высоты пирамиды.

Нахождение площади основания

Поскольку у нас есть правильная треугольная пирамида, то площадь основания можно найти, используя формулу для площади равностороннего треугольника: \[ A = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \] где \( a \) - длина стороны основания.

Нахождение высоты пирамиды

Высоту пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ h = a \sqrt{1 - \frac{1}{3}} \] где \( a \) - длина стороны основания.

Нахождение объема пирамиды

После того как мы найдем площадь основания и высоту, мы можем использовать формулу для объема пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} A h \] где \( A \) - площадь основания, \( h \) - высота.

Решение

Дано: Сторона основания \( a = 8 \, см \) и двугранный угол при основании \( \alpha = 60^\circ \). Мы можем рассчитать площадь основания и высоту, а затем подставить их в формулу для объема пирамиды.

Расчет площади основания

\[ A = \frac{{8^2 \sqrt{3}}}{4} \] \[ A = \frac{{64 \sqrt{3}}}{4} \] \[ A = 16 \sqrt{3} \, см^2 \]

Расчет высоты пирамиды

\[ h = 8 \sqrt{1 - \frac{1}{3}} \] \[ h = 8 \sqrt{\frac{2}{3}} \] \[ h = 8 \sqrt{\frac{2}{3}} \] \[ h \approx 6.93 \, см \]

Нахождение объема пирамиды

\[ V = \frac{1}{3} \times 16 \sqrt{3} \times 6.93 \] \[ V \approx 98.18 \, см^3 \]

Таким образом, объем данной пирамиды составляет около \( 98.18 \, см^3 \).