Question

Решить предел,если х стремится к 2 : (sqrt(x+1)-sqrt(3))/(sqrt(3x-2)-2)

Answer 1

Сделаем замену переменной y=x-2 так, чтобы предел брался при стремлении переменной к нулю. Имеем:

lim_y->0 (sqrt(y+3)-sqrt(3))/(sqrt(3y+4)-2)

Далее вынесем числа за корень, чтобы внутри корня осталась единица:

Получим в числителе 

sqrt(3)*sqrt(y/3+1) - sqrt(3)

в знаменателе

 2*sqrt(3y/4+1) - 2

разложим в ряд Тейлора до первого члена:

 Числитель: sqrt(3)* (1+y/6+o(y)-1)

Знаменатель: 2* (1+3y/8+o(y) -1)

 после сокращений получим ответ 2*sqrt(3)/9

Answer 2

Для решения этого предела можно использовать метод рационализации. Давайте разберемся подробнее.

Нам дан предел выражения (sqrt(x+1)-sqrt(3))/(sqrt(3x-2)-2), когда x стремится к 2. Чтобы решить этот предел, мы можем использовать метод рационализации, который позволяет избавиться от радикалов в знаменателе.

Шаг 1: Рационализация знаменателя

Мы начнем с рационализации знаменателя. Для этого умножим исходное выражение на сопряженное выражение знаменателя, то есть sqrt(3x-2)+2:

(sqrt(x+1)-sqrt(3))/(sqrt(3x-2)-2) * (sqrt(3x-2)+2)/(sqrt(3x-2)+2)

Шаг 2: Упрощение

Теперь у нас есть:

((sqrt(x+1)-sqrt(3))*(sqrt(3x-2)+2))/((sqrt(3x-2)-2)*(sqrt(3x-2)+2))

Раскроем скобки и упростим:

(sqrt(3x+3)-sqrt(9x-6)+2sqrt(x+1)-2sqrt(3))/((3x-2)-4)

Шаг 3: Продолжение упрощения

Теперь у нас есть:

(sqrt(3x+3)-sqrt(9x-6)+2sqrt(x+1)-2sqrt(3))/(3x-6)

Шаг 4: Упрощение

Теперь мы можем сократить выражение, так как в числителе и знаменателе есть общий множитель sqrt(3):

(sqrt(x+1)-sqrt(3)+2sqrt(x+1)-2sqrt(3))/(3x-6)

Шаг 5: Дальнейшее упрощение

Мы можем объединить подобные термины в числителе:

(3sqrt(x+1)-4sqrt(3))/(3x-6)

Шаг 6: Подстановка значения

Теперь мы можем подставить значение x=2 в наше выражение:

(3sqrt(2+1)-4sqrt(3))/(3*2-6)

Шаг 7: Вычисление

Теперь вычислим числитель и знаменатель:

(3sqrt(3)-4sqrt(3))/(6-6)

Шаг 8: Дальнейшее упрощение

У нас есть:

-sqrt(3)/0

Вывод

Предел (-sqrt(3))/0 не определен. Это означает, что исходное выражение не имеет предела, когда x стремится к 2.