Question

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ(подробнее) cos5x+cosx= -2cos3x

Answer 1

Левую часть уравнения расспишем по формуле суммы косинусов

$2\cos \frac{5x+x}{2}\cos \frac{5x-x}{2} =-2\cos 3x\\ \\ 2\cos 3x\cos 2x=-2\cos3x\\ \\ 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x=0$

Выносим общий множитель

$2\cos3x(\cos 2x+1)=0$

Произведение равно нулю значит

$2\cos 3x=0\\ 3x= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z\\ \\ x= \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi n}{3},n \in Z\\ \\ \cos 2x=-1\\ 2x=\pi+2\pi n,n \in Z\\ \\ x= \frac{\pi}{2} +\pi n,n \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения cos5x + cosx = -2cos3x используем формулу суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Применяя эту формулу, получаем:

cos5x + cosx = 2cos4xcosx 2cos4xcosx = -2cos3x

Теперь заменим cos4x на (cos2x)^2 и cos3x на (cosx)(2cos2x - 1):

2(cos2x)^2 * cosx = -2cosx(2cos2x - 1)

Разделим обе стороны на -2cosx:

-(cos2x)^2 = 2cos2x - 1

Теперь заменим cos2x на t:

-t^2 = 2t - 1

Переносим все члены в левую часть уравнения:

t^2 + 2t - 1 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = 2^2 - 4*(-1) = 4 + 4 = 8

t1,2 = (-2 ± √8) / 2 = (-2 ± 2√2) / 2 = -1 ± √2

Таким образом, получаем два решения для t:

t1 = -1 + √2 t2 = -1 - √2

Теперь подставляем обратно cos2x:

cos2x = -1 + √2 cos2x = -1 - √2

Используя формулу обратного косинуса, найдем значения x:

x1 = acos(-1 + √2) x2 = acos(-1 - √2)

Таким образом, уравнение имеет два решения:

x1 = π - acos(√2 - 1) x2 = π - acos(√2 + 1)