Question

Назовем десятичное число интересным, если оно делится на число 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Answer 1

Все цифры интересного числа различны, поэтому их сумма равна 45, и число делится на 9. Значит, оно делится на 99999. 
Рассмотрим интересное число X =  = 105·  +  = 99999·  +  + . 
Мы видим, что сумма  +  делится на 99999. Но эта сумма меньше, чем 2·99999, поэтому она равна 99999. Значит, 
a0 + a5 = a1 + a6 = ... = a4 + a9 = 9. 
Очевидно, верно и обратное: число с такими (различными) цифрами будет интересным. 
Итак, последние пять цифр интересного числа полностью определяются пятью его первыми цифрами, а первые пять цифр нужно выбирать так, чтобы никакие две из них не давали в сумме 9 и a9 не равнялось нулю. 
Следовательно, цифру a9 можно выбрать девятью способами, цифру a8 – восемью (нельзя выбирать a9 и 9 – a9), после этого a7 – шестью способами, a6 – четырьмя и a5 – двумя. Отсюда получаем 9·8·6·4·2 = 3456 возможностей.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти количество интересных чисел, которые делятся на число 11111 и имеют все различные цифры.

Давайте разберемся шаг за шагом:

1. Число 11111 является пятизначным числом, состоящим только из цифры 1. 2. Для того чтобы число делилось на 11111, сумма его цифр также должна быть кратна 11111. Это означает, что сумма цифр числа должна быть равна 5, 10, 15, 20 и так далее. 3. Чтобы найти количество интересных чисел для каждой суммы цифр, мы можем использовать комбинаторику. 4. Для суммы цифр, равной 5, цифры могут быть только 1, 1, 1, 1 и 1, поскольку все цифры должны быть различными. Таким образом, для этой суммы цифр существует только одно интересное число. 5. Для суммы цифр, равной 10, мы можем выбрать две различные цифры из 1, 1, 1, 1 и 1. Это можно сделать C(5,2) способами, где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов, выбранных по k. Таким образом, для этой суммы цифр существует C(5,2) = 10 интересных чисел. 6. Аналогично, мы можем продолжить этот процесс для остальных сумм цифр и посчитать количество интересных чисел для каждой из них.

Общее количество интересных чисел будет суммой количества интересных чисел для каждой суммы цифр. Вычислив все эти значения, мы сможем получить окончательный ответ.

Таким образом, чтобы найти количество интересных чисел, нам нужно вычислить:

Общее количество интересных чисел = количество интересных чисел для суммы цифр 5 + количество интересных чисел для суммы цифр 10 + ... + количество интересных чисел для суммы цифр 20 и так далее

Я могу помочь вам вычислить это, если вы хотите.