Question

Дифференциальные уравнения y''-12y'+35y=0 y(0)=3,y'(0)=-4

Answer 1

............................................................

Answer 2

Решение дифференциального уравнения y'' - 12y' + 35y = 0

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением со стационарными коэффициентами.

Характеристическое уравнение: Для решения данного уравнения найдем характеристическое уравнение, используя замену y = e^(rt), где r - неизвестная.

Характеристическое уравнение имеет вид: r^2 - 12r + 35 = 0

Находим корни характеристического уравнения: Для нахождения корней используем квадратное уравнение: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = 1, b = -12, c = 35

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4*1*35 = 144 - 140 = 4 √D = 2

r1 = (12 + 2) / 2 = 7 r2 = (12 - 2) / 2 = 5

Общее решение: Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = c1 * e^(7t) + c2 * e^(5t)

Начальные условия: Для определения конкретного решения, воспользуемся начальными условиями:

y(0) = 3, y'(0) = -4

Находим частное решение: Подставим начальные условия в общее решение и найдем частное решение системы уравнений, чтобы найти конкретные значения постоянных c1 и c2.

y(0) = c1 + c2 = 3 y'(0) = 7c1 + 5c2 = -4

Решив данную систему уравнений, найдем частное решение: c1 = 1, c2 = 2

Частное решение: Итак, конкретное решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = e^(7t) + 2 * e^(5t)

Таким образом, мы получили частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.