Question

Упростить выражение arctg1/2+ arctg1/5+ arctg1/8

Answer 1

Arctg x+arctg y=arctg (x+y)/(1-xy),если ху<1

arctg 1/2+arctg 1/5=arctg(1/2+1/5)/(1-1/10)=arctg (7/9)/(9/10)=arctg 7/9
arctg 7/9+arctg 1/8=arctg(7/9+1/8)/1-7/72)=arctg(65/72)/(65/72)=arctg 1=pi/4

Answer 2

Для упрощения выражения arctg(1/2) + arctg(1/5) + arctg(1/8) можно воспользоваться формулой сложения арктангенсов:

arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b) / (1 - a * b))

Применяя эту формулу к первым двум арктангенсам, получим:

arctg(1/2) + arctg(1/5) = arctg((1/2 + 1/5) / (1 - 1/2 * 1/5)) = arctg(7/10 / (9/10)) = arctg(7/9)

Теперь можно заменить первые два арктангенса на их сумму:

arctg(1/2) + arctg(1/5) + arctg(1/8) = arctg(7/9) + arctg(1/8)

Теперь применим формулу сложения арктангенсов к оставшимся двум арктангенсам:

arctg(7/9) + arctg(1/8) = arctg((7/9 + 1/8) / (1 - 7/9 * 1/8)) = arctg((64/72 + 9/72) / (72/72 - 7/72)) = arctg(73/72 / 65/72) = arctg(73/65)

Итак, упрощенное выражение равно arctg(73/65).