Question

Найди производую при х=1 5arccos(x-1)

Answer 1

$\displaystyle (5arccos(x-1))'=\frac{5}{1-(x-1)^2},\quad x=1\\\\\\\frac{5}{1-(1-1)^2}=\frac{5}1=\boxed{5}$

Answer 2

Для нахождения производной функции, данной в виде `f(x) = 5arccos(x-1)`, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как правило цепной дифференциации или правило дифференцирования композиции функций.

Правило цепной дифференциации гласит, что для функции `y = g(f(x))`, производная может быть найдена как произведение производной внешней функции `g'(u)` и производной внутренней функции `f'(x)`, где `u = f(x)`.

В нашем случае, внешняя функция `g(u) = 5arccos(u)` и внутренняя функция `f(x) = x - 1`, поэтому `u = f(x) = x - 1`.

1. Найдем производную внутренней функции `f(x) = x - 1`: Так как внутренняя функция является линейной функцией, ее производная равна коэффициенту при `x`, то есть `f'(x) = 1`.

2. Найдем производную внешней функции `g(u) = 5arccos(u)`: Для нахождения производной арккосинуса, мы можем использовать производную обратной функции: `d/dx(arccos(x)) = -1/sqrt(1 - x^2)`. В нашем случае, `u = x - 1`, поэтому `d/dx(arccos(u)) = -1/sqrt(1 - (x - 1)^2)`.

3. Применим правило цепной дифференциации: `d/dx(g(f(x))) = g'(u) * f'(x)`. В нашем случае, `g'(u) = -1/sqrt(1 - (x - 1)^2)` и `f'(x) = 1`, поэтому: `d/dx(5arccos(x - 1)) = -5/sqrt(1 - (x - 1)^2)`.

Таким образом, производная функции `f(x) = 5arccos(x - 1)` при `x = 1` равна `-5/sqrt(1 - (1 - 1)^2) = -5`.