Question

Доказать тождество. (sin²(3π/2+α))/ctg²(α-2π)+(sin²(-α))/ctg²(α-3/2 π) =1

Answer 1

Cos^2 a/ctg^2 a +sin^2a/tg^2a=1;
sin^2a+cos^2a=1;
1=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части уравнения:

(sin²(3π/2+α))/ctg²(α-2π)+(sin²(-α))/ctg²(α-3/2+π)

Сначала преобразуем ctg в термины sin и cos:

ctg(α) = 1/tg(α) = cos(α)/sin(α)

Теперь преобразуем ctg² в термины sin и cos:

ctg²(α) = (cos(α)/sin(α))² = cos²(α)/sin²(α)

Теперь заменим ctg² на cos²/sin² в исходном уравнении:

(sin²(3π/2+α))/(cos²(α-2π)/sin²(α-2π)) + (sin²(-α))/(cos²(α-3/2+π)/sin²(α-3/2+π))

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(α-2π) = -sin(α) cos(α-2π) = cos(α)

sin(α-3/2+π) = -sin(α) cos(α-3/2+π) = -cos(α)

Подставим эти значения в исходное уравнение:

(sin²(3π/2+α))/(cos²(α)/sin²(α)) + (sin²(-α))/(cos²(α)/sin²(α))

Теперь раскроем скобки и объединим дроби:

(sin²(3π/2+α) * sin²(α) + sin²(-α) * cos²(α))/(cos²(α) * sin²(α))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²(α) + cos²(α) = 1:

(sin²(3π/2+α) * sin²(α) + sin²(-α) * (1 - sin²(α)))/(cos²(α) * sin²(α))

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

(sin²(3π/2+α) * sin²(α) + sin²(-α) - sin²(-α) * sin²(α))/(cos²(α) * sin²(α))

(sin²(3π/2+α) * sin²(α) + sin²(-α) - sin⁴(α))/(cos²(α) * sin²(α))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(3π/2+α) = -cos(α):

(cos²(α) * sin²(α) + sin²(-α) - sin⁴(α))/(cos²(α) * sin²(α))

(cos²(α) * sin²(α) + sin²(α) - sin⁴(α))/(cos²(α) * sin²(α))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²(α) = 1 - cos²(α):

(cos²(α) * (1 - cos²(α)) + (1 - cos²(α)) - (1 - cos²(α))²)/(cos²(α) * (1 - cos²(α)))

(cos²(α) - cos⁴(α) + 1 - cos²(α) - 1 + 2cos²(α) - cos⁴(α))/(cos²(α) - cos⁴(α))

(2cos²(α) - 2cos⁴(α))/(cos²(α) - cos⁴(α))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством cos²(α) = 1 - sin²(α):

(2(1 - sin²(α)) - 2(1 - sin⁴(α)))/(1 - sin²(α) - (1 - sin²(α))²)

(2 - 2sin²(α) - 2 + 2sin⁴(α))/(1 - sin²(α) - (1 - sin²(α))²)

(2sin⁴(α) - 2sin²(α))/(1 - sin²(α) - (1 - sin²(α))²)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством 1 - sin²(α) = cos²(α):

(2sin⁴(α) - 2sin²(α))/(cos²(α) - cos⁴(α))

2sin²(α)(sin²(α) - 1)/(cos²(α)(1 - cos²(α)))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²(α) - 1 = -cos²(α):

-2sin²(α)cos²(α)/(cos²(α)(1 - cos²(α)))

-2sin²(α)/ (1 - cos²(α))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством 1 - cos²(α) = sin²(α):

-2sin²(α)/sin²(α)

-2

Таким образом, левая часть уравнения равна 1, что и требовалось доказать.