Question

Решите неопределённость, с помощью второго замечательного предела lim x следует к бесконечности (x-1)^(x-1)/(x+2)

Answer 1

Посылаю вариант решения задачи.

Answer 2

Для решения данной неопределенности с помощью второго замечательного предела, мы можем применить следующий подход:

Первый шаг: Приведение выражения к виду, в котором можно применить второй замечательный предел

Исходное выражение имеет вид:

lim(x -> ∞) ((x-1)^(x-1))/(x+2)

Чтобы применить второй замечательный предел, нам нужно привести выражение к виду ((1 + 1/x)^x).

Найдем общий знаменатель для числителя и знаменателя выражения:

((x-1)^(x-1))/(x+2) = ((x-1)^(x-1))/(x+2) * (1/((x-1)^(x-1)))

= (1/(x+2)) * (x-1)^(x-1)

Теперь мы можем применить второй замечательный предел.

Второй шаг: Применение второго замечательного предела

Второй замечательный предел утверждает, что:

lim(x -> ∞) (1 + 1/x)^x = e

Где e - основание натурального логарифма, примерно равное 2.71828.

В нашем случае, мы можем заметить, что:

((x-1)^(x-1))/(x+2) = (1/(x+2)) * (x-1)^(x-1)

Мы можем записать (x-1)^(x-1) как ((x-1)^(x-1))/(x+2) * (x+2), чтобы привести его к виду (1 + 1/(x+2))^(x+2).

Теперь мы можем применить второй замечательный предел:

lim(x -> ∞) ((x-1)^(x-1))/(x+2) = lim(x -> ∞) (1/(x+2)) * (x+2) * (1 + 1/(x+2))^(x+2)

= lim(x -> ∞) (1 + 1/(x+2))^(x+2)

= e

Таким образом, решение данной неопределенности с помощью второго замечательного предела равно e, где e - основание натурального логарифма, примерно равное 2.71828.