Question

помогите пожайлуста срочно надо решить.найдите следующие неопределенные интегралы.интеграл от sin3x sinxdx . 2)интеграл от cos5xcos3xdx.

Answer 1

1)

sin(x)*sin(3x)

так как

sin (3x)= sin(2x + x) = sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x), то

sin(x)*sin(3x)=sin(x)*[ sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x)]=

=sin(x)*[2sin(x)cos(x)*cos(x)+sin(x)*(2cos^2(x)-1)]=

=sin^2(x)*[2cos^2(x)+2cos^2(x)-1]=sin^2(x)*[4cos^2(x)-1]=

=4sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(x)

 

  a.  int(4sin^2(x)cos^2(x))dx=int(2sin(x)cos(x))^2dx=int(sin(2x)^2dx=

=int((1/2)*(1-cos(2*2x)))dx=(1/2)*(x-(1/4)*sin(4x))+c

 

б.  int(sin^2(x))dx=(-1/2)int(1-cos(2x))dx=(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x))]+c

 

итого

int sin(x)*sin(3x)dx=(1/2)*[x-(1/4)*sin(4x)]+c1+(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x)]+c2=

=(1/2)*[(1/2)sin(2x)-(1/4)sin(4x)]+c

 

Answer 2

1) Для нахождения интеграла от sin(3x) * sin(x)dx используем формулу произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = (1/2) * (cos(a - b) - cos(a + b))

Таким образом, интеграл примет вид:

(1/2) * ∫(cos(2x) - cos(4x))dx

Теперь интегрируем каждый из членов:

(1/2) * (1/2 * sin(2x) - 1/4 * sin(4x)) + C где C - произвольная постоянная.

Итак, интеграл от sin(3x) * sin(x)dx равен: (1/4) * sin(2x) - (1/8) * sin(4x) + C

2) Для нахождения интеграла от cos(5x) * cos(3x)dx используем ту же самую формулу произведения косинусов:

cos(a) * cos(b) = (1/2) * (cos(a - b) + cos(a + b))

Интеграл примет вид:

(1/2) * ∫(cos(2x) + cos(8x))dx

Интегрируем каждый из членов:

(1/2) * (1/2 * sin(2x) + 1/8 * sin(8x)) + C где C - произвольная постоянная.

Итак, интеграл от cos(5x) * cos(3x)dx равен: (1/4) * sin(2x) + (1/16) * sin(8x) + C