Question

Найдите наименьшее значение функции у = f(x) на указанном промежутке х^2lnх [1,е]

Answer 1

F`(x)=2xlnx+x²/x=2xlnx+x=x(2lnx+1)=0
x=0∉[1;e]
 lnx=-1/2⇒x=1/√e∉[1;e]
y(1)=1*ln1=1*0=0  наим
y(e)=e²lne=e²*1=e²

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = x^2ln(x) на промежутке [1, e], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции, а затем решим уравнение производной, чтобы найти критические точки функции. После этого мы сможем определить, где функция достигает своего минимального значения.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции f(x) = x^2ln(x), мы можем использовать правило производной произведения функций (Product Rule) и правило производной логарифма (Logarithmic Rule).

Применим правило производной произведения функций: (fg)' = f'g + fg'

В данном случае, f(x) = x^2 и g(x) = ln(x).

Производная f(x) равна: f'(x) = 2x

Производная g(x) равна: g'(x) = 1/x

Применим правило производной логарифма: d/dx (ln(x)) = 1/x

Теперь, используя правило производной произведения функций, производная функции f(x) = x^2ln(x) будет: f'(x) = x^2 * (1/x) + 2x * ln(x) = x + 2x * ln(x)

Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек, мы должны решить уравнение f'(x) = 0.

Уравнение f'(x) = 0: x + 2x * ln(x) = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому мы можем воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное значение x, при котором производная равна нулю.

Определение наименьшего значения

После нахождения критических точек, мы можем определить, где функция f(x) достигает своего минимального значения. Для этого мы можем вычислить значения функции f(x) в критических точках и на концах промежутка [1, e]. Затем мы сравним эти значения и найдем наименьшее.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значение функции f(x) = x^2ln(x) на промежутке [1, e], мы должны: 1. Найти производную функции f(x) и решить уравнение f'(x) = 0 для определения критических точек. 2. Вычислить значения функции f(x) в критических точках и на концах промежутка [1, e]. 3. Сравнить эти значения и найти наименьшее.

Используя эти шаги, вы сможете найти наименьшее значение функции f(x) на указанном промежутке.