Question

∫(1+x)/√(1-x²)dx Необходимо подробное решение

Answer 1

Кликни по картинке ниже:
 

Answer 2

Разбиваем интеграл на два:∫dx/√1-x^2 + ∫xdx/√1-x^2= arcsin x - 0.5 ∫d(1-x^2)/√1-x^2 = arcsin x-0.5 × 2 √1-x^2 +c=arcsin x - √1-x^2  +c

Answer 3

Для решения интеграла ∫(1+x)/√(1-x²)dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим подробное решение.

Метод подстановки

1. Пусть u = 1 - x². Тогда du/dx = -2x, и dx = du/(-2x). 2. Заменим x и dx в исходном интеграле: ∫(1+x)/√(1-x²)dx = ∫(1+x)/√u * (du/(-2x)). 3. Упростим выражение, заменив x в числителе дроби: ∫(1+x)/√u * (du/(-2x)) = ∫(1+x)/√u * (du/(-2(1-u))). 4. Упростим дальше: ∫(1+x)/√u * (du/(-2(1-u))) = ∫(1+x)/√u * (du/(2(u-1))). 5. Разделим числитель и знаменатель на 2: ∫(1+x)/√u * (du/(2(u-1))) = (1/2) * ∫(1+x)/√u * (du/(u-1)). 6. Разложим дробь на простые дроби: (1/2) * ∫(1+x)/√u * (du/(u-1)) = (1/2) * ∫(A/(u-1) + B/√u) du. 7. Найдем значения коэффициентов A и B: A/(u-1) + B/√u = (1+x)/√u. Раскроем скобки и приведем подобные члены: (A√u + B(u-1))/(u-1)√u = (1+x)/√u. Умножим обе части на (u-1)√u: A√u + B(u-1) = (1+x)(u-1). Подставим u = 1: A + B(1-1) = (1+1)(1-1). A = 0. Подставим u = 0: 0 + B(0-1) = (1+0)(0-1). B = -1. Таким образом, A = 0 и B = -1. 8. Заменим значения коэффициентов в исходном интеграле: (1/2) * ∫(A/(u-1) + B/√u) du = (1/2) * ∫(0/(u-1) - 1/√u) du. 9. Упростим выражение: (1/2) * ∫(0/(u-1) - 1/√u) du = (1/2) * ∫(-1/√u) du. 10. Проинтегрируем: (1/2) * ∫(-1/√u) du = -(1/2) * 2√u + C. 11. Вернемся к исходной переменной: -(1/2) * 2√u + C = -√u + C. 12. Заменим обратно u на 1 - x²: -√u + C = -√(1 - x²) + C.

Таким образом, решение интеграла ∫(1+x)/√(1-x²)dx равно -√(1 - x²) + C, где C - произвольная постоянная.