Question

Два натуральных числа отличаются на 10. Десятичная запись их произведения состоит из одних девяток. Найдите большее из этих чисел.

Answer 1

Попробуем несколько чисел из одних 9.
9 = 3*3 нет, 99 = 9*11 = 3*33 - нет, 999 = 9*111 = 9*3*37 = 27*37 - да.
Ответ: 37.

Answer 2

Решение:

Давайте обозначим два числа как \( a \) и \( b \), где \( a > b \). Мы знаем, что их разность равна 10, то есть \( a - b = 10 \). Также, мы знаем, что произведение этих чисел состоит из одних девяток. Предположим, что \( a \) - большее из двух чисел.

Теперь мы можем записать произведение этих чисел как \( a \times b \), и оно будет иметь вид 999...999, где количество девяток зависит от количества цифр в произведении.

Так как \( a \) больше \( b \), мы можем представить \( a \) как \( b + 10 \). Тогда произведение \( a \times b \) можно записать как \( (b + 10) \times b \), то есть \( b^2 + 10b \).

Теперь мы должны найти такие \( a \) и \( b \), чтобы \( b^2 + 10b \) было числом вида 999...999.

Давайте подберем значения \( b \) и \( a \) для уравнения \( b^2 + 10b = 999...999 \).

Подставим \( b = 1 \), \( b = 2 \), \( b = 3 \), и так далее, пока не найдем такое значение \( b \), при котором \( b^2 + 10b \) будет числом вида 999...999.

Итак, давайте начнем с \( b = 1 \):

- \( b = 1 \): \( 1^2 + 10 \times 1 = 11 \) - \( b = 2 \): \( 2^2 + 10 \times 2 = 24 \) - \( b = 3 \): \( 3^2 + 10 \times 3 = 39 \) - \( b = 4 \): \( 4^2 + 10 \times 4 = 56 \) - \( b = 5 \): \( 5^2 + 10 \times 5 = 75 \) - \( b = 6 \): \( 6^2 + 10 \times 6 = 96 \)

Мы видим, что при \( b = 6 \) значение \( b^2 + 10b \) равно 96, что не является числом вида 999...999.

Таким образом, мы видим, что для \( b = 6 \) мы не получаем число вида 999...999. Поэтому мы можем утверждать, что \( b \) должно быть больше 6.

Когда \( b = 7 \):

- \( b = 7 \): \( 7^2 + 10 \times 7 = 119 \)

Таким образом, при \( b = 7 \) мы получаем значение \( b^2 + 10b \), равное 119, что также не является числом вида 999...999. Поэтому мы можем утверждать, что \( b \) должно быть больше 7.

Когда \( b = 8 \):

- \( b = 8 \): \( 8^2 + 10 \times 8 = 144 \)

Таким образом, при \( b = 8 \) мы получаем значение \( b^2 + 10b \), равное 144, что также не является числом вида 999...999. Поэтому мы можем утверждать, что \( b \) должно быть больше 8.

Когда \( b = 9 \):

- \( b = 9 \): \( 9^2 + 10 \times 9 = 171 \)

Таким образом, при \( b = 9 \) мы получаем значение \( b^2 + 10b \), равное 171, что также не является числом вида 999...999. Поэтому мы можем утверждать, что \( b