Question

Упростите выражения: a) (1/1+ctg^2a+cos^2a)*tg^2a b) (tg^2a/1+tg^a+cos^2a)*cos^a.

Answer 1

1)

1/cos^2(a) – tg^2(a)-sin^2(a)=

=1/cos^2(a) – sin^2(a)/cos^2(a))-sin^2(a)=

=[1 – sin^2(a) ]/cos^2(a))-sin^2(a)=

=cos^2(a)/cos^2(a))-sin^2(a)=

=1--sin^2(a)=cos^2(a)

2)

cos^2(a)+ctg^2(a)-1/sin^2(a)=

=cos^2(a)+[cos^2(a)-1]/sin^2(a)=

=cos^2(a)-sin^2(a)]/sin^2(a)=

=cos^2(a)-1 = -sin^2(a)

3)

1/cos^2(a) – tg^2(a)(cos^2(a)+1)=

=1/cos^2(a) – sin^2(a)-sin^2(a)/(cos^2(a)=

=(1 – sin^2(a))/cos^2(a)-sin^2(a)=

=1-sin^2(a)=cos^2(a)

 

Answer 2

Давайте постепенно упростим данные выражения.

Выражение a): (1/1 + ctg^2a + cos^2a) * tg^2a + b

Сначала рассмотрим числитель:

1 + ctg^2a + cos^2a

Мы можем заменить ctg^2a на 1/tg^2a, так как ctg^2a является обратным к tg^2a:

1 + 1/tg^2a + cos^2a

Теперь найдем общий знаменатель для данного выражения:

1 + 1/tg^2a + cos^2a = tg^2a * cos^2a + 1 * cos^2a + 1 * tg^2a = tg^2a * cos^2a + cos^2a + tg^2a

Теперь можем упростить числитель:

tg^2a * cos^2a + cos^2a + tg^2a = (tg^2a + 1) * cos^2a + tg^2a

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

(1/1 + ctg^2a + cos^2a) * tg^2a + b = ((tg^2a + 1) * cos^2a + tg^2a) * tg^2a + b

Теперь упростим это выражение:

((tg^2a + 1) * cos^2a + tg^2a) * tg^2a + b = (tg^2a * cos^2a + cos^2a + tg^2a) * tg^2a + b = (tg^2a * (cos^2a + 1) + cos^2a) * tg^2a + b = (tg^2a * 1 + cos^2a) * tg^2a + b = (tg^2a + cos^2a) * tg^2a + b

Таким образом, упрощенное выражение a) равно (tg^2a + cos^2a) * tg^2a + b.

Выражение b): (tg^2a / 1 + tg^a + cos^2a) * cos^a

Сначала рассмотрим числитель:

tg^2a

Теперь займемся знаменателем:

1 + tg^a + cos^2a

Мы можем заменить tg^a на sin^a/cos^a, так как tg^a является отношением sin^a к cos^a:

1 + sin^a/cos^a + cos^2a

Теперь найдем общий знаменатель для данного выражения:

1 + sin^a/cos^a + cos^2a = cos^a + sin^a + cos^2a * cos^a = cos^a + sin^a + cos^3a

Теперь можем упростить числитель:

tg^2a = sin^2a / cos^2a

И заменить его в исходном выражении:

(sin^2a / cos^2a) / (cos^a + sin^a + cos^3a) * cos^a = (sin^2a) / (cos^a + sin^a + cos^3a) * cos^a

Таким образом, упрощенное выражение b) равно (sin^2a) / (cos^a + sin^a + cos^3a) * cos^a.

Надеюсь, это помогло вам понять, как упростить данные выражения. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!