Question

sin (x+2П)+tg x•sin(П/2+х)

Answer 1

Sinx+tgx*cosx=sinx+six/cosx*cosx=2sinx

Answer 2

Давайте рассмотрим подробно выражение sin(x + 2π) + tg(x) · sin(π/2 + x).

Замена переменных

Для удобства рассмотрим замену переменной: пусть t = x + 2π. Тогда выражение можно переписать в виде sin(t) + tg(t - 2π) · sin(π/2 + t - 2π).

Тригонометрические тождества

Для дальнейшего решения нам понадобятся некоторые тригонометрические тождества:

1. sin(a + b) = sin(a) · cos(b) + cos(a) · sin(b) 2. tg(a) = sin(a) / cos(a) 3. cos(π/2 + a) = -sin(a)

Решение

Используя тригонометрические тождества, преобразуем выражение:

sin(t) + tg(t - 2π) · sin(π/2 + t - 2π) = sin(t) + sin(t - 2π) / cos(t - 2π) · (-sin(t - 2π)) = sin(t) - sin(t - 2π) / cos(t - 2π) · sin(t - 2π)

Заметим, что sin(t - 2π) = sin(x), так как мы сделали замену переменной t = x + 2π. Подставим это значение:

sin(t) - sin(t - 2π) / cos(t - 2π) · sin(t - 2π) = sin(t) - sin(x) / cos(t - 2π) · sin(x)

Упрощение

Для упрощения выражения, воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

1. sin(a) - sin(b) = 2 · cos((a + b)/2) · sin((a - b)/2) 2. cos(a) / cos(b) = cos(a - b)

Применим эти тождества:

sin(t) - sin(x) / cos(t - 2π) · sin(x) = 2 · cos((t + x)/2) · sin((t - x)/2) - cos(t - 2π) · sin(x) / cos(t - 2π) = 2 · cos((t + x)/2) · sin((t - x)/2) - sin(x)

Окончательный ответ

Таким образом, после всех преобразований, исходное выражение sin(x + 2π) + tg(x) · sin(π/2 + x) равно:

2 · cos((x + 2π + x)/2) · sin((x + 2π - x)/2) - sin(x) = 2 · cos((2x + 2π)/2) · sin(2π/2) - sin(x) = 2 · cos(x + π) · sin(π) - sin(x) = 2 · (-cos(x)) · 1 - sin(x) = -2cos(x) - sin(x)

Таким образом, окончательный ответ на данное выражение -2cos(x) - sin(x).