Question

Найти интеграл : интеграл(2х+1)sin x/3 dx

Answer 1

S(2x+1)sin(x/3)dx=2Sxsin(x/3)dx+Ssin(x/3)dx=
=-4xcos(x/2)+4Scos(x/2)dx+Ssin(x/2)dx=
=-4xcos(x/2)+8sin(x/2)-4cos(x/2)+C

Answer 2

Для нахождения данного интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и v - это функции, подлежащие дифференцированию и интегрированию соответственно, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать u = 2x + 1, а dv = sin(x)/3 dx. Теперь продифференцируем u и проинтегрируем dv:

du = 2 dx v = -cos(x)/3

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям, чтобы вычислить интеграл:

∫(2x + 1)sin(x)/3 dx = (2x + 1)(-cos(x)/3) - ∫(-cos(x)/3)(2) dx

Раскроем скобки и произведем дальнейшие вычисления:

= -(2x + 1)cos(x)/3 + (2/3)∫cos(x) dx = -(2x + 1)cos(x)/3 + (2/3)sin(x) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫(2x + 1)sin(x)/3 dx равен:

-(2x + 1)cos(x)/3 + (2/3)sin(x) + C