Question

Вычислите предел:lim (1-3x)^ 1/2xx->0

Answer 1

X->0 => (1-3x)->1 => lim(1-3x)^(1/2x) = 1
т.к. 1 в любой степени = 1
Ответ:1

Answer 2

Для вычисления предела lim (1-3x)^(1/2)x при x -> 0, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте разберемся подробнее.

Метод замены переменной для вычисления предела

1. Начнем с замены переменной: пусть u = 1-3x. Тогда, когда x -> 0, u -> 1. 2. Мы можем выразить x через u: x = (1-u)/3. 3. Теперь мы можем заменить x в выражении (1-3x)^(1/2)x через u: (1-3x)^(1/2)x = ((1-u)^(1/2)*u^(1/2))/3. 4. Теперь, когда x -> 0, u -> 1, и мы можем переписать предел в терминах переменной u: lim(u->1) ((1-u)^(1/2)*u^(1/2))/3.

Вычисление предела

Теперь мы можем вычислить предел lim(u->1) ((1-u)^(1/2)*u^(1/2))/3. Воспользуемся алгебраическими преобразованиями и свойствами пределов.

lim(u->1) ((1-u)^(1/2)*u^(1/2))/3 = (lim(u->1) (1-u)^(1/2) * lim(u->1) u^(1/2))/3.

Так как lim(u->a) f(u)g(u) = lim(u->a) f(u) * lim(u->a) g(u), мы можем разбить предел на два:

= (lim(u->1) (1-u)^(1/2))/3 * (lim(u->1) u^(1/2))/3.

Теперь мы можем вычислить оба предела по отдельности.

1. lim(u->1) (1-u)^(1/2): Заметим, что (1-u)^(1/2) это корень квадратный из (1-u). Когда u -> 1, (1-u) -> 0, и поэтому (1-u)^(1/2) -> 0. Таким образом, lim(u->1) (1-u)^(1/2) = 0.

2. lim(u->1) u^(1/2): Когда u -> 1, u^(1/2) -> 1^(1/2) = 1.

Теперь мы можем подставить значения обоих пределов обратно в выражение:

= (0)/3 * 1/3 = 0.

Ответ

Итак, предел lim (1-3x)^(1/2)x при x -> 0 равен 0.