Question

Найдите остаток от деления х^10-1 на х^3-1

Answer 1

X^10-1=(x^9-1)x+(x-1). Значит остаток равен х-1, т.к.
x^9-1=(x^3)^3-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1).

Answer 2

Чтобы найти остаток от деления многочлена `x^10 - 1` на многочлен `x^3 - 1`, мы можем применить алгоритм деления многочленов, известный как алгоритм синтетического деления.

Алгоритм синтетического деления

1. Переписываем коэффициенты многочлена `x^10 - 1` в порядке убывания степеней: `1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1`. 2. Поделим первый коэффициент многочлена `1` на первый коэффициент многочлена `x^3 - 1`, что даст нам частное `x^7` и остаток `x^7 - 1`. 3. Умножим `x^7` на `x^3 - 1` и вычтем полученное произведение из исходного многочлена `x^10 - 1`. Это даст нам новый многочлен `x^10 - x^7`. 4. Повторим шаги 2 и 3 для нового многочлена `x^10 - x^7`. Разделим первый коэффициент `1` на первый коэффициент `x^3 - 1`, получим `x^7`, и получим остаток `x^7 - 1`. 5. Умножим `x^7` на `x^3 - 1` и вычтем произведение из `x^10 - x^7`. Это даст нам новый многочлен `x^10 - 2x^7`. 6. Повторяем шаги 2 и 3 для нового многочлена `x^10 - 2x^7`. Разделим первый коэффициент `1` на первый коэффициент `x^3 - 1`, получим `x^7`, и получим остаток `x^7 - 1`. 7. Продолжаем повторять шаги 2 и 3, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Результат деления

Таким образом, после нескольких итераций алгоритма синтетического деления, мы получим остаток от деления `x^10 - 1` на `x^3 - 1`, равный `x^7 - 1`.

Математически можно записать:

(x^10 - 1) / (x^3 - 1) = x^7 - 1

Таким образом, остаток от деления `x^10 - 1` на `x^3 - 1` равен `x^7 - 1`.