Question

В равнобедренную трапецию,периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. найдите расстояние от точка пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания .

Answer 1

Пусть ABCD -трапеция , AD || BC , BC< AD ; P(ABCD) =160 ,S((ABCD) =1280 .
трапецию   можно вписать окружность;
MN ⊥ AD ; O ∈ [ MN ],  O -пересечения диагоналей(MN проходит через O). 
M∈ [AD] ,N∈ [BC].
----
ON -?

S =(AB +BC) /2 *H ,где  H  - высота трапеции . 
По условию задачи  трапеция описана  окружности , следовательно :
AD+BC =(AB +CD) = P/2 =160/2 =80.
AB =CD =40 ;
S =(AB +BC) /2 *H ;
1280 =40*H ⇒ H =32. 
Проведем BE ⊥AD и  CF ⊥ AD, 
AE =DF =√(AB² -BE)² =√(AB² -H²)  =√(40² -32²) =576 .
AD -BC =2*32 =64.
{ AD -BC =64 ; AD +BC =80 ⇒AD =64 ; BC =16.
ΔAOD подобен ΔCOB :
BC/AD =ON/ OM ⇔BC/AD =ON/ (H -ON) .
16/64 =ON/ (4 -ON) ⇒ON =0,25.

ответ:  0,25.