Question

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны b и образуют между собой угол 2a. найти радиус вписанной в треугольник окружности

Answer 1

Пусть имеем равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, с радиусом r вписанной окружности  с центром в точке О на высоте ВД  и углом при вершине В, равным 2α.

Опустим перпендикуляр ОМ на сторону АВ, равный r.
Имеем 2 подобных треугольника ВМО и АВД с общим углом α.
Высота ВД = b*cos α, OB = ВД - r = b*cos α - r.
Уравнение подобия: b*cos α - r = r/sin α.
b*cos α*sin α -  r*sin α = r.
 r + r*sin α = b*cos α*sin α. Умножим обе части уравнения на 2.
 2r + 2r*sin α = b*2cos α*sin α.
 2r(1 + sin α) = b*sin 2α.
 r  = (b*sin 2α)/(2(1 + sin α)).

Можно выразить радиус по другому.
b*cos α - r = r/sin α.
b*cos α - r = r*scs α.
 r = (b*cos α)/(1 + csc α).