Question

В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности. Если можно,то по подробнее)

Answer 1

ABC-треугольник;
Угол В - прямой; 
O -  центр окружности; 
AO=15, OC=20.
D и E - точки касания окружности к катетам окружности AB и BC;
 1) OE = DO =R ; 
2) ∠BDO = 90° ; 
 ∠BEO = 90°; 
 ∠DBE = 90° => Четырехугольник DBEO - квадрат; 
3) ΔADO и ΔOEC - подобны. 
Из подобия треугольников следует: 
$\frac{AD}{AO}= \frac{OE}{OC}; \\ AD= \sqrt{AO^2-OD^2}= \sqrt{225-R^2}; \\ \frac{ \sqrt{225-R^2} }{15}= \frac{R}{20}; \ R=12AC; \ AO+OC=15+20=35AD; \\ 35AD= \sqrt{225-144}=9AB; \\ 9AB=DB+AD=12+9=21; \\ 21BC^2=AC^2-AB^2; \\ 21BC^2=1225-441=784BC; \\ 28S= AB *\frac{BC}{2}= \frac{21*28}{2}=294; \\ S=294$
Найдем радиус:
$\frac{\sqrt{225-R^2}}{15}= \frac{R}{20}; \\ 15R=20(\sqrt{225-R^2}); \\ 15^2R^2=20^2(\sqrt{225-R^2})^2; \ 225R^2=400(225-R^2); \\ 225R^2=90000-400R^2; \\ 225R^2+400R^2=90000; \\ 625R^2=90000; \\ R^2=90000:625; \\ R^2=144; \\ R_{1,2}=+-12;$
Найдем длину вписанной полуокружности: 
$R=12 =\ \textgreater \ \\ L= \frac{ Rn\pi }{180}; \\ L= \frac{12*90 \pi }{180}= \frac{12 \pi }{2} =6 \pi$
Ответ:$6 \pi$