Question

Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Длина медианы выражается формулой : M =1/2*sgrt 2a^2 +2b^2 - c^2 ,где  с-сторона через которую проходит медиана ,  a и b - другие стороны треугольника .Возведем левую и правую часть уравнения во вторую степень, получаем : M^2 = 1/4(2a^2 + 2b^2 - c)      4M^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2  . Отсюда  :
с^2= 2a^2 + 2b^2 -M^2  .   c^2= 2*34^2 + 2*32^2 - 17^2 = 2*1156 + 2*1024 -289 =
2312 + 2048 - 289 =  4071     sgrt c^2 = sgrt 4071 = 63,8 .Найдем площадь треугольника по формуле : S = sgrt p*(p - a)*(p - b)*(p - c) , где p -полупериметр  ,  a ,b и c - стороны треугольника . p = (a + b + c) / 2 = ( 34 + 32 + 63.8) / 2 = 64.9    S = sgrt 64.9 *(64.9 - 34)*(64.9 - 32)*(64.9 - 63.8) = sgrt 64.9 * 30.9 * 32.9 * 1.1 = sgrt 72578.2 = 269.4 кв,ед

Answer 2

Имеем треугольник  АВС со сторонами АВ=34 и ВС=32. Пусть медиана ВО =17 пересекает АС в точке О. Продлим ВО на ОD =17 и соединим точки А и С с точкой D. Полученный четырехугольник - параллелограмм. так как диагонали его пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам (3 признак ). Треугольник ВОС= треугольнику АОD по двум сторонам и углу между ними (ВО=ОD, АО=ОС, угол ВОС=углу АОD как вертикальные). Найдем площадь тр-ка ВАD, она как мы показали, равна искомой площади тр-ка АВС. Стороны тр-ка АВD  равны 32, 34 и 17*2=34, далее по теореме Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c)    p=0.5(34+32+34)=50
S=√50*16*16*18=4*4*√(25*2*2*9) =16*5*2*3=480