Question

log₂2cos²π/12+log₂tgπ/12

Answer 1

$log_2 2cos^2 \frac{\pi}{12}+log_2 tg \frac{\pi}{12}=\\\\ log_2 (2cos^2 \frac{\pi}{12}tg \frac{\pi}{12})=log_2 (2cos \frac{\pi}{12}sin \frac{\pi}{12})=\\\\log_2 sin(2*\frac{\pi}{12})=log_2 sin \frac{\pi}{6}=\\\\log_2 \frac{1}{2}=log_2 2^{-1}=-1$

Answer 2

Для решения данного выражения мы воспользуемся свойствами логарифмов.

Сначала посмотрим на первое слагаемое: log₂2cos²π/12.

Здесь мы имеем логарифм по основанию 2 от произведения двух чисел: 2 и cos²π/12.

Заметим, что 2 входит в основание логарифма по основанию 2, поэтому данное слагаемое равно 1. Дело в том, что log₂2 = 1, так как основание логарифма равно числу, которое мы возводим в степень.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: log₂tgπ/12.

Здесь мы имеем логарифм по основанию 2 от тангенса угла π/12.

Давайте вспомним определение тангенса: tg(x) = sin(x)/cos(x).

В данном случае у нас тангенс угла π/12, поэтому tg(π/12) = sin(π/12)/cos(π/12).

А теперь вспомним соотношение между синусом и косинусом угла π/12: sin(π/12) = √(2-√3)/(2√2) и cos(π/12) = √(2+√3)/(2√2).

Для удобства введем обозначение: a = √(2-√3) и b = √(2+√3).

Тогда tg(π/12) = a/(b√2).

Теперь подставим значение тангенса в выражение log₂tgπ/12: log₂(a/(b√2)).

Здесь мы не можем упростить логарифм, так как основание не входит в числитель или знаменатель.

Итак, итоговый ответ: 1 + log₂(a/(b√2)).