Question

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F(+-5;0), y=+-4/3x

Answer 1

Для гиперболы, заданной в каноническом виде 
x²/a²−y²/b²=1 уравнения двух асимптот имеют вид:x/a±y/b=0.
Уравнения асимптот (по заданию) у = (+-4/3)х можно преобразовать:
3у = +-4х
3у+-4х = 0.
Разделив обе части равенства на 12, получим:
у/4 +- х/3 = 0.
Отсюда видно, что для заданной гиперболы а = 3, в = 4.
Для проверки, зная, что Ф = с =+-5:
с² = а² + в²
25 = 9 + 16 = 25.
Поэтому уравнение гиперболы:
х²/3² - у²/4² = 1   или
х²/9 - у²/16 = 1.

Answer 2

Уравнение гиперболы

Уравнение гиперболы можно составить, зная координаты фокусов и уравнения ее асимптот. Для данной задачи, фокусы F(±5, 0) и уравнение асимптоты y = ±(4/3)x.

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:

((x - h)^2 / a^2) - ((y - k)^2 / b^2) = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы, a - расстояние от центра до вертикальных асимптот, b - расстояние от центра до горизонтальных асимптот.

Определение центра гиперболы

Центр гиперболы можно найти, зная координаты фокусов. В данном случае, фокусы F(±5, 0), поэтому центр гиперболы будет находиться на оси x и будет иметь координаты (0, 0).

Определение параметров a и b

Расстояние от центра до вертикальной асимптоты равно a, а расстояние от центра до горизонтальной асимптоты равно b. В данном случае, уравнение асимптоты y = ±(4/3)x указывает на то, что гипербола открывается вдоль осей x и y. Таким образом, a = 4/3 и b = 4/3.

Подставление значений в уравнение гиперболы

Подставим полученные значения в уравнение гиперболы:

((x - 0)^2 / (4/3)^2) - ((y - 0)^2 / (4/3)^2) = 1

Упростим выражение:

(x^2 / (16/9)) - (y^2 / (16/9)) = 1

Умножим обе части уравнения на (16/9), чтобы избавиться от дробей:

9x^2 - 9y^2 = 16

Таким образом, уравнение гиперболы с фокусами F(±5, 0) и уравнением асимптоты y = ±(4/3)x будет:

9x^2 - 9y^2 = 16

Это уравнение описывает гиперболу с центром в точке (0, 0), фокусами в точках F(±5, 0) и асимптотами y = ±(4/3)x.