Question

докажите ,что функция y=1/5 x(в пятой степени) - cos2x является первообразной для функции y=x (в четвертой степени) + 2sin2x

Answer 1

$F'(x) = f(x)$

 

$(\frac{1}{5}x^5 - \cos 2x)' = (\frac{1}{5}x^5)' -( \cos 2x)' = \frac{1}{5}(x^5)' + (2x)'\sin 2x = \\ \frac{1}{5}5x^4 + 2\sin 2x = x^4 + 2\sin 2x$

Answer 2

Конечно, чтобы доказать, что функция \(y = \frac{1}{5}x^5 - \cos(2x)\) является первообразной для функции \(y = x^4 + 2\sin(2x)\), давайте найдем производную от \(y = \frac{1}{5}x^5 - \cos(2x)\) и проверим, соответствует ли она функции \(y = x^4 + 2\sin(2x)\).

Первообразная функции это функция, производная которой равна данной функции.

1. Найдем производную от \(y = \frac{1}{5}x^5 - \cos(2x)\):

\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + 2\sin(2x) = x^4 + 2\sin(2x)\)

Мы видим, что производная от \(y = \frac{1}{5}x^5 - \cos(2x)\) действительно равна функции \(y = x^4 + 2\sin(2x)\).

Следовательно, функция \(y = \frac{1}{5}x^5 - \cos(2x)\) является первообразной для функции \(y = x^4 + 2\sin(2x)\).