Question

Интеграл (4 корня из x\1+корень из x)dx

Answer 1

Решаем интеграл:

Вынесли константу из-под знака интеграла.

Делаем замену переменных:

Получим:

Вынесли константу из-под знака интеграла.

Проинтегрировали степенную функцию.

Сделали обратную замену.

Записывем финальный ответ:

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте разложим его на два отдельных интеграла и затем будем интегрировать каждую часть по отдельности.

Итак, у нас есть интеграл:

\[ \int (4\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) \, dx \]

Разложим его на два отдельных интеграла:

\[ \int 4\sqrt{x} \, dx + \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \]

Теперь интегрируем каждую из частей:

1. \[ \int 4\sqrt{x} \, dx \]

Используем степенное правило интегрирования:

\[ \frac{4}{3}x^{3/2} \]

2. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \]

Используем отрицательное степенное правило интегрирования:

\[ 2\sqrt{x} \]

Теперь объединим результаты двух интегралов:

\[ \frac{4}{3}x^{3/2} + 2\sqrt{x} + C \]

где \( C \) - постоянная интегрирования. Таким образом, интеграл

\[ \int (4\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) \, dx \]

равен

\[ \frac{4}{3}x^{3/2} + 2\sqrt{x} + C \]