Question

При делении числа 402 на натуральный делитель получается остаток 17,а при делении числа 257 на тот же натуральный делитель получается остаток 12.Найдите натуральный делитель.

Answer 1

Натуральный делитель 35

Answer 2

Давайте обозначим натуральный делитель, на который мы делим оба числа, за \( d \). Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. \( 402 = d \cdot q_1 + 17 \), где \( q_1 \) - целая часть от деления 402 на \( d \). 2. \( 257 = d \cdot q_2 + 12 \), где \( q_2 \) - целая часть от деления 257 на \( d \).

Мы знаем, что \( q_1 \) и \( q_2 \) - целые числа.

Теперь давайте рассмотрим разность этих двух уравнений:

\[ (402 - 257) = d \cdot q_1 - d \cdot q_2 + (17 - 12) \]

Упростим это уравнение:

\[ 145 = d \cdot (q_1 - q_2) + 5 \]

Теперь давайте рассмотрим возможные значения \( d \). \( d \) - это натуральный делитель чисел 402 и 257. Так как \( d \) делит оба числа, он также делит их разность, которая равна 145.

Мы видим, что 145 делится на 5, поэтому \( d \) также должно делиться на 5. Таким образом, \( d \) может быть 1, 5, 29 или 145.

Теперь давайте проверим каждое из этих значений, подставив их в исходные уравнения:

1. При \( d = 1 \), мы получаем \( 402 = q_1 + 17 \) и \( 257 = q_2 + 12 \). Однако, это не соответствует условиям задачи.

2. При \( d = 5 \), мы получаем \( 402 = 5 \cdot q_1 + 17 \) и \( 257 = 5 \cdot q_2 + 12 \). Решение \( q_1 = 77 \) и \( q_2 = 49 \) удовлетворяет обоим уравнениям.

Таким образом, натуральный делитель равен 5.