Question

На прямой отмечено семь точек, и одна точка отмечена вне этой прямой. Найдите количество всех возможных треугольников с вершинами в восьми отмеченных точках.

Answer 1

Треугольники могут быть составлены только из 2 точек, которые лежат на прямой и из одной точки вне прямой, получается 20 треугольников (6 + 5 + 4 + 3 + 2)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим, как можно составить треугольники с вершинами в этих точках.

Есть несколько способов создать треугольники:

1. Выбрать 3 точки на прямой. 2. Выбрать 2 точки на прямой и одну точку вне прямой.

Рассмотрим каждый из этих случаев более подробно.

1. Треугольники, вершины которых лежат на прямой: В данном случае, у нас есть 7 точек на прямой, и мы должны выбрать 3 из них. Это можно сделать по формуле сочетаний: \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Для этой задачи: \(C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\).

2. Треугольники, вершины которых лежат вне прямой: У нас есть 1 точка вне прямой и 7 точек на прямой. Мы можем выбрать 2 точки из 7 на прямой и одну точку вне прямой. Это можно сделать аналогично по формуле сочетаний: \(C(7, 2) \times C(1, 1) = 21 \times 1 = 21\).

Теперь сложим результаты обоих случаев, чтобы получить общее количество треугольников:

\[35 + 21 = 56.\]

Итак, общее количество возможных треугольников с вершинами в восьми отмеченных точках равно 56.