Question

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?

Answer 1

С одного из чисел 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108 или 109

Answer 2

Давайте рассмотрим процесс вычитания суммы цифр из числа более подробно. Пусть x - это исходное натуральное число.

1. Шаг 1: Вычитаем сумму цифр числа x. \(x_1 = x - \text{сумма цифр}(x)\)

2. Шаг 2: Вычитаем сумму цифр числа \(x_1\). \(x_2 = x_1 - \text{сумма цифр}(x_1)\)

3. Шаг 3: Повторяем процесс 11 раз: \[x_{n+1} = x_n - \text{сумма цифр}(x_n)\]

4. Условие остановки: \(x_{11} = 0\)

Теперь давайте посмотрим на пример:

Пусть \(x = 38\).

1. Шаг 1: \(x_1 = 38 - (3+8) = 27\) 2. Шаг 2: \(x_2 = 27 - (2+7) = 18\) 3. Шаг 3: \(x_3 = 18 - (1+8) = 9\) 4. Шаги 4-11: Повторяем процесс, каждый раз вычитая сумму цифр.

После 11 шагов \(x_{11} = 0\).

Таким образом, начальное число \(x = 38\).

Теперь давайте обобщим для любого двузначного числа:

Пусть двузначное число \(x = 10a + b\), где a и b - цифры числа.

1. \(x_1 = 10a + b - (a + b) = 9a\) 2. \(x_2 = 9a - (\text{сумма цифр}(9a))\) 3. Повторяем процесс 11 раз до тех пор, пока не получим \(x_{11} = 0\).

Таким образом, начинать можно с любого двузначного числа \(x\), где первая цифра больше нуля.