Question

Сколькими способами можно из ста первых натуральных чисел отобрать 8 так, чтобы среди них было 4 числа из первой десятки?

Answer 1

C(из 10 по 4)*С(из 90 по 4) = [ 10!/(4!*6!)]*[90!/(4!*86!)]=
= [ 7*8*9*10/(2*3*4)]*[ 87*88*89*90/(2*3*4)] = 
= [ 7*3*10]*[87*11*89*30] = 210*2555190 = 536589900

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой.

Из первой десятки (числа от 1 до 10) нужно выбрать 4 числа. Это можно сделать C(10, 4) способами, где C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k.

Из оставшихся 90 чисел нужно выбрать еще 4 числа. Это можно сделать C(90, 4) способами.

Общее число способов выбрать 8 чисел так, чтобы среди них было 4 числа из первой десятки, равно произведению этих двух чисел:

C(10, 4) * C(90, 4) = (10! / (4! * (10-4)!)) * (90! / (4! * (90-4)!))

Упрощая данное выражение, получаем:

(10 * 9 * 8 * 7 / (4 * 3 * 2 * 1)) * (90 * 89 * 88 * 87 / (4 * 3 * 2 * 1))

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:

(10 * 9 * 8 * 7 * 90 * 89 * 88 * 87) / (4 * 3 * 2 * 1 * 4 * 3 * 2 * 1)

Далее, сокращаем числители и знаменатели:

(10 * 3 * 8 * 7 * 90 * 89 * 2 * 87) / (1 * 1 * 1 * 1 * 4 * 2 * 1 * 1)

И окончательно получаем:

10 * 3 * 8 * 7 * 90 * 89 * 2 * 87 / 8 = 10 * 3 * 7 * 90 * 89 * 2 * 87

Таким образом, число способов из 100 первых натуральных чисел отобрать 8 так, чтобы среди них было 4 числа из первой десятки, равно 10 * 3 * 7 * 90 * 89 * 2 * 87.