Question

Косинус угла альфа умножить на косинус угла альфа это косинус квадрат альфа ? (cos a * cos a = cos² ?)

Answer 1

Совершенно верно:
$cos(a)*cos(a)=cos^2(a)$
Это по определению, а не вследствие формулы произведения косинусов. Поэтому преобразование производить или приводить доказательство не нужно.

Answer 2

Да, у вас правильное утверждение. Формула, которую вы предложили, верна, и она происходит из тригонометрического тождества. Давайте рассмотрим это более подробно.

Тригонометрическое тождество, которое вы упомянули, называется формулой двойного угла для косинуса. Она выглядит следующим образом:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

Теперь, если мы заменим \(\sin^2(\alpha)\) на \(1 - \cos^2(\alpha)\) (с использованием тригонометрического тождества \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)), мы получим:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) \]

Упростим это выражение:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) \]

Объединим квадраты косинусов:

\[ \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \]

Теперь, если мы поделим обе стороны на 2, получим формулу, которую вы упомянули:

\[ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\alpha)) \]

Таким образом, вы правильно заметили, что \(\cos^2(\alpha)\) можно выразить как функцию от угла \(2\alpha\). В вашем случае, если угол \(\alpha\) совпадает с углом \(a\), то выражение \(\cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos^2(\alpha)\) эквивалентно выражению \(\cos(a) \cdot \cos(a) = \cos^2(a)\), что является косинусом квадрата угла \(a\).