Question

При помощи дифференциала найти приближенное значение e^0,2 с точностью до десятых.

Answer 1

Приращение функции Δf(x)=f(x0+Δx)-f(x0)≈f'(x0)*dx=f'(x0)*Δx. Пусть x0=0, тогда Δx=0,2-0=0,2. Отсюда f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)*Δx. В нашем случае f(x)=eˣ, тогда f'(x)=eˣ и f(x0)=f'(0)=f'(0)=e⁰=1. Отсюда e^(0,2)≈1+1*0,2=1,2. Ответ: e^0,2≈1,2.

Answer 2

Для нахождения приближенного значения функции e^x с помощью дифференциала, мы будем использовать формулу разложения в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора для функции e^x имеет вид: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Дифференциал этого ряда можно записать следующим образом: de^x = dx + x*dx + (x^2/2!)*dx + (x^3/3!)*dx + ...

Если мы возьмем значение x = 0.2, то получим следующее выражение:

de^0.2 = 1 + 0.2*dx + (0.2^2/2!)*dx + (0.2^3/3!)*dx + ...

Для приближенного значения с точностью до десятых, мы можем остановиться на первых двух слагаемых:

de^0.2 ≈ 1 + 0.2*dx

Теперь мы можем подставить любое значение dx для нахождения приближенного значения e^0.2 с требуемой точностью.

Например, если мы возьмем dx = 0.1, то получим:

de^0.2 ≈ 1 + 0.2*0.1 = 1.02

Таким образом, приближенное значение функции e^0.2 с точностью до десятых равно 1.02.