Question

Доказать тождество:1+cosa+cos2a+cos3a/cosa+2cos^2a-1=2cos

Answer 1

Решение на фото, смотри, 

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте начнем.

Используем тригонометрические тождества:

1. Тождество двойного угла: cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Алгебраические преобразования:

2. Разделим числитель и знаменатель на cos(a): - Числитель: (1 + cos(a)cos(2a) + cos(3a)) / cos(a) - Знаменатель: cos(a) + 2cos^2(a) - 1

3. Разложим числитель на сумму двух выражений: - (1 + cos(a)cos(2a) + cos(3a)) / cos(a) = cos(a)/cos(a) + cos(a)cos(2a)/cos(a) + cos(3a)/cos(a)

4. Упростим каждое слагаемое в числителе: - cos(a)/cos(a) = 1 - cos(a)cos(2a)/cos(a) = cos(2a) - cos(3a)/cos(a) = cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)

5. Подставим упрощенные выражения в числитель: - 1 + cos(2a) + (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a))

6. Упростим числитель: - 1 + cos(2a) + cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a) = 1 + cos(2a)(1 + cos(a)) - sin(2a)sin(a)

7. Раскроем скобки: - 1 + cos(2a) + cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a) = 1 + cos(2a) + cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)

8. Подставим выражение для cos(2a) из тригонометрического тождества: - 1 + cos(2a) + 2cos^2(a) - 1 - sin(2a)sin(a)

9. Упростим числитель: - 2cos^2(a) + cos(2a) - sin(2a)sin(a)

10. Подставим числитель и знаменатель обратно в исходное выражение: - (2cos^2(a) + cos(2a) - sin(2a)sin(a)) / (cos(a) + 2cos^2(a) - 1)

11. Упростим выражение: - 2cos^2(a)/(cos(a) + 2cos^2(a) - 1) + cos(2a)/(cos(a) + 2cos^2(a) - 1) - sin(2a)sin(a)/(cos(a) + 2cos^2(a) - 1)

12. Разложим cos^2(a) на (1 + cos(2a))/2: - 2(1 + cos(2a))/2(cos(a) + 1 + cos(2a) - 1) + cos(2a)/(cos(a) + 2(1 + cos(2a))/2 - 1) - sin(2a)sin(a)/(cos(a) + 2(1 + cos(2a))/2 - 1)

13. Упростим выражение: - (1 + cos(2a))/(cos(a) + 1 + cos(2a) - 1) + cos(2a)/(cos(a) + 1 + cos(2a) - 1) - sin(2a)sin(a)/(cos(a) + 1 + cos(2a) - 1)

14. Сократим числитель и знаменатель: - (1 + cos(2a))/(2cos(a)) + cos(2a)/(2cos(a)) - sin(2a)sin(a)/(2cos(a))

15. Общий знаменатель: - (1 + cos(2a) + cos(2a) - sin(2a)sin(a))/(2cos(a))

16. Упростим числитель: - (2cos(2a) + 1 - sin(2a)sin(a))/(2cos(a))

17. Разложим sin(2a)sin(a) на (1/2)(cos(a) - cos(3a)): - (2cos(2a) + 1 - (1/2)(cos(a) - cos(3a)))/(2cos(a))

18. Упростим числитель: - (2cos(2a) + 1 - (1/2)cos(a) + (1/2)cos(3a))/(2cos(a))

19. Общий знаменатель: - (2cos(a)cos(2a) + cos(a) + cos(3a))/(2cos(a))

20. Упростим числитель: - (2cos(a)(2cos^2(a) - 1) + cos(a) + cos(3a))/(2cos(a))

21. Раскроем скобки: - (4cos^3(a) - 2cos(a) + cos(a) + cos(3a))/(2cos(a))

22. Упростим числитель: - (4cos^3(a) - cos(a) + cos(3a))/(2cos(a))

23. Разложим cos(3a) на (4cos^3(a) - 3cos(a)): - (4cos^3(a) - cos(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a))/(2cos(a))

24. Упростим числитель: - (8cos^3(a) - 4cos(a))/(2cos(a))

25. Сократим числитель и знаменатель: - (4cos^3(a) - 2cos(a))/cos(a)

26. Разложим числитель на 2cos(a)(2cos^2(a) - 1): - (2cos(a)(2cos^2(a) - 1))/cos(a)

27. Сократим числитель и знаменатель: - 2cos(2a)

Таким образом, мы доказали, что

(1 + cos(a)cos(2a) + cos(3a))/(cos(a) + 2cos^2(a) - 1) = 2cos(2a)

Тождество подтверждено.