Question

В каждой клетке прямоугольной таблицы написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100. Докажите, что таблица квадратная.

Answer 1

Допустим, что все числа в таблице 10. Тогда 100/10=10 => в каждой строке и столбце будет по 10 клеток => 10*10 - квадрат.
Аналогично это можно доказать для любых чисел, т.к. сумма в столбцах и строках будет всегда равной

Answer 2

Давайте рассмотрим данную прямоугольную таблицу с числами. Предположим, что у нас есть m строк и n столбцов.

По условию задачи, сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100. Это означает, что сумма чисел в каждой строке равна сумме чисел в каждом столбце.

Предположим, что таблица не является квадратной, то есть у нас есть m строк и n столбцов, где m ≠ n. Пусть m < n (если m > n, аналогичные рассуждения могут быть применены).

Рассмотрим сумму чисел во всех строках. Так как сумма чисел в каждой строке равна 100, то сумма чисел во всех строках будет равна m * 100.

Рассмотрим сумму чисел во всех столбцах. Поскольку сумма чисел в каждом столбце также равна 100, то сумма чисел во всех столбцах будет равна n * 100.

Но мы также знаем, что сумма чисел в каждой строке равна сумме чисел в каждом столбце. То есть m * 100 = n * 100. Если мы разделим обе стороны на 100, получим m = n.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100, то таблица должна быть квадратной, то есть количество строк должно быть равно количеству столбцов.

Это доказывает, что таблица, описанная в задаче, является квадратной.