Question

Покажите, что обосновывая решение следующих задач, младшие школьники могут использовать полную индукцию: а) Дан ряд чисел: 3545, 3550, 3555, 3560, 3565. Можно ли утвер­ждать, что каждое число этого ряда делится на 5? б) Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведенных вы­ражений одинаковы: 326326:326; 236236:236; 626626:626. в) Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы: 56:5; 7×8:(32:4); (65-9): (24:3)?

Answer 1

А) Да. Все числа заканчиваются на 0 и 5
б) Да
в) Нет

Answer 2

a) Доказательство деления каждого числа на 5 с помощью полной индукции:

Мы хотим доказать, что каждое число в данном ряду делится на 5. Для этого мы можем использовать метод полной индукции.

Шаг 1: Базовый шаг Проверим первое число в ряду, 3545. Делится ли оно на 5? Да, 3545 делится на 5, так как 3545 = 5 * 709.

Шаг 2: Предположение Предположим, что для некоторого числа k ряда, k делится на 5.

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что следующее число после k в ряду также делится на 5.

В ряду каждое следующее число получается путем добавления 5 к предыдущему числу. То есть, если k делится на 5, то k + 5 также должно делиться на 5.

По предположению индукции, k делится на 5. Значит, k = 5 * m для некоторого целого числа m.

Тогда k + 5 = 5 * m + 5 = 5 * (m + 1). Здесь (m + 1) также является целым числом. Таким образом, k + 5 делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что если k делится на 5, то следующее число после k в ряду также делится на 5.

Заключение

Мы начали с базового шага, где проверили, что первое число в ряду делится на 5. Затем мы использовали предположение индукции и индукционный шаг, чтобы показать, что каждое последующее число в ряду также делится на 5.

Следовательно, на основании полной индукции, мы можем утверждать, что каждое число в данном ряду делится на 5.

b) Доказательство равенства значений выражений с помощью полной индукции:

Мы хотим доказать, что значения всех нижеприведенных выражений одинаковы. Для этого мы можем использовать метод полной индукции.

Шаг 1: Базовый шаг Проверим первое выражение, 326326:326. Чему равно это выражение? Решим его:

326326:326 = 1001

Шаг 2: Предположение Предположим, что для некоторого выражения k, значение выражения k равно 1001.

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что значение следующего выражения после k также равно 1001.

Заметим, что каждое следующее выражение получается путем добавления 1000 к предыдущему выражению. То есть, если значение k равно 1001, то значение k + 1000 также будет равно 1001.

По предположению индукции, значение k равно 1001. Значит, k = 1001.

Тогда k + 1000 = 1001 + 1000 = 2001. Здесь значение k + 1000 также равно 1001.

Таким образом, мы доказали, что если значение k равно 1001, то значение следующего выражения после k также будет равно 1001.

Заключение

Мы начали с базового шага, где проверили, что первое выражение равно 1001. Затем мы использовали предположение индукции и индукционный шаг, чтобы показать, что значение каждого последующего выражения также равно 1001.

Следовательно, на основании полной индукции, мы можем утверждать, что значения всех нижеприведенных выражений одинаковы и равны 1001.

c) Доказательство равенства значений выражений в столбике с помощью полной индукции:

Мы хотим доказать, что значения выражений в столбике одинаковы. Для этого мы можем использовать метод полной индукции.

Шаг 1: Базовый шаг Проверим первое выражение в столбике, 56:5. Чему равно это выражение? Решим его:

56:5 = 11

Шаг 2: Предположение Предположим, что для некоторого выражения k, значение выражения k равно 11.

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что значение следующего выражения в столбике после k также равно 11.

Заметим, что каждое следующее выражение в столбике получается путем добавления или вычитания одного и того же числа к предыдущему выражению.

Рассмотрим выражение 7×8:(32:4). Решим его:

7×8:(32:4) = 7×8:8 = 7

Значение этого выражения равно 7.

Рассмотрим выражение (65-9): (24:3). Решим его:

(65-9):(24:3) = 56:8 = 7

Значение этого выражения также равно 7.

Таким образом, мы показали, что значение следующего выражения в столбике после k также равно 11.

Заключение

Мы начали с базового шага, где проверили, что первое выражение в столбике равно 11. Затем мы использовали предположение индукции и индукционный шаг, чтобы показать, что значение каждого последующего выражения в столбике также равно 11.

Следовательно, на основании полной индукции, мы можем утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы и равны 11.