Question

Докажите тождество sin (α + β) - sin (α – β) = 2 cos α sin β

Answer 1

Sin(α+β) - sin(α-β) = 2·cosα·sinβ
sinα·cosβ + cosα·sinβ - sinα·cosβ + cosα·sinβ = 2·cosα·sinβ
2·cosα·sinβ = 2·cosα·sinβ

Answer 2

Для начала, воспользуемся формулой для суммы функций синуса:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

Теперь, рассмотрим левую часть выражения:

sin(α + β) - sin(α - β)

Согласно формуле для синуса суммы, можно представить синус разности как синус суммы с противоположным знаком:

sin(α - β) = sin(α + (-β))

Тогда:

sin(α + β) - sin(α - β) = sin(α + β) - sin(α + (-β))

Теперь заменим sin(α + β) согласно формуле:

sin(α + β) - sin(α - β) = (sinαcosβ + cosαsinβ) - (sinαcos(-β) + cosαsin(-β))

Так как cos(-x) = cos(x) и sin(-x) = -sin(x), можем упростить выражение:

sin(α + β) - sin(α - β) = (sinαcosβ + cosαsinβ) - (sinαcosβ - cosαsinβ)

Сокращаем похожие члены:

sin(α + β) - sin(α - β) = sinαcosβ + cosαsinβ - sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α + β) - sin(α - β) = 2cosαsinβ

Таким образом, мы доказали тождество sin(α + β) - sin(α - β) = 2cosαsinβ.

Especially, the formula above shows that the difference of two sine functions can be expressed as a product of cosine and sine functions, which confirms the identity sin(α + β) - sin(α - β) = 2cosαsinβ.