Question

(e^x+2)y‘=ye^x помогите решить

Answer 1

Разделив уравнение на произведение (e^x+2)*y, получим уравнение y'/y=e^x/(e^x+2). А так как y'=dy/dx, то это уравнение приводится к виду dy/y=e^x*dx/(e^x+2). Но поскольку e^x*dx=d(e^x+2), то окончательно уравнение можно записать в виде dy/y=d(e^x+2)/(e^x+2). Интегрируя теперь обе части уравнения, получаем ∫dy/y=∫d(e^x+2)/(e^x+2), откуда ln/y/=ln(e^x+2)+lnC, где C>0 - произвольная постоянная. Отсюда y=C*(e^x+2). Ответ: y=C*(e^x+2).

Answer 2

Я могу помочь вам решить это уравнение. Вот подробный ответ:

Дано уравнение: (e^x+2)y‘=ye^x

Разделим обе части уравнения на произведение (e^x+2)y, получим:

y'/y = e^x/(e^x+2)

Это уравнение можно записать в виде:

dy/y = e^x/(e^x+2) dx

Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения нужно проинтегрировать обе части уравнения:

∫dy/y = ∫e^x/(e^x+2) dx

Левая часть уравнения равна логарифму от y по основанию e:

ln|y| = ∫e^x/(e^x+2) dx + C

Для вычисления правой части уравнения нужно использовать метод замены переменной. Пусть u = e^x+2, тогда du = e^x dx и уравнение примет вид:

ln|y| = ∫1/u du + C

Проинтегрируем правую часть уравнения:

ln|y| = ln|u| + C

Подставим обратно u = e^x+2:

ln|y| = ln|e^x+2| + C

Используя свойство логарифма, получим:

ln|y| = x + ln|2| + C

Применим экспоненциальную функцию к обеим частям уравнения:

y = e^(x + ln|2| + C)

Используя свойство степени, получим:

y = e^C * e^x * 2

Так как e^C - это произвольная константа, то можно обозначить ее как A:

y = A * e^x * 2

Это и есть общее решение данного уравнения.

Надеюсь, это было полезно для вас.

: [Уравнение с разделяющимися переменными](https://www.mathway.com/popular-problems/Precalculus/420486) : [Метод замены переменной](https://www.mathway.com/ru/Algebra) : [Ответы: (e^x+2)y‘=ye^x помогите решить...](https://online-otvet.ru/matematika/5ceab3c696f4e19a29824759)